Self-Similar Solutions to a Multidimensional Singular Heat Equation with Power Nonlinearity

A. L. Kazakov; L. F. Spevak

doi:10.17804/2410-9908.2024.2.006-019

A. L. Kazakov, L. F. Spevak

SELF-SIMILAR SOLUTIONS TO A MULTIDIMENSIONAL SINGULAR HEAT EQUATION WITH POWER NONLINEARITY

DOI: 10.17804/2410-9908.2024.2.006-019

The paper deals with the construction of exact solutions to a singular heat equation with power nonlinearity in the case of numerous independent variables with spatial (e.g. axial or central) symmetry. A new class of self-similar solutions is proposed, which reduce to solving the Cauchy problem for a second-order nonlinear ordinary differential equation having singularities at the higher derivative with respect to the required function and/or the independent variable. The ordinary differential equation is studied in two ways: analytically and numerically. The analytical study uses a truncated Taylor series with recurrently computed coefficients, for which explicit formulas are obtained. The numerical solution to the problem uses an iteration algorithm based on the collocation method and radial basis functions. The numerical analysis shows the convergence of the proposed numerical algorithm and its sufficient accuracy enabling one to use the found self-similar solutions to verify approximate solutions to the original heat equation. Besides, the numerical analysis has allowed the radius of convergence of the constructed Taylor series to be evaluated. The form of the constructed self-similar solutions, namely their unboundedness near the symmetry center (axis), enables us to study the behavior and exactness of the numerical solutions to the nonlinear singular parabolic-type equation that have been obtained by the stepwise solution method proposed by us earlier and possess the same property.

Acknowledgements: The work was performed under the state assignment from the Russian Ministry of Science and Higher Education, theme No. 124020600042-9.

Keywords: nonlinear heat equation, exact solution, self-similar solution, ordinary differential equation, power series, collocation method, radial basis functions

Bibliography:

Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics. Partial Differential Equations: vol. 2, Interscience, New York, 1962, 830 p.
Evans, L. Partial Diﬀerential Equations. Graduate Studies in Mathematics: vol. 19, 2nd ed., American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010, 749 p.
Samarskii, A.A. and Gulin, A.V. Ustoychivost raznostnykh skhem [Stability of Difference Schemes]. Librokom Publ., Moscow, 2009, 383 p. (In Russian).
Samarskii, A.A., Galaktionov, V.A., Kurdyumov, S.P., and Mikhailov, A.P. Blow-Up in Quasilinear Parabolic Equations, Walter de Gruyte, Berlin, New York, 1995, 534 p.
Vazquez, J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory, Clarendon Press, Oxford, 2007, 648 р.
DiBenedetto, E. Degenerate parabolic equations, Springer, New York, NY, 1993, 388 p. DOI: 10.1007/978-1-4612-0895-2.
Ladyženskaja, O.A., Solonnikov, V. A., and Ural'ceva, N.A. Linear and Quasi-linear Equations of Parabolic Type, Translations of Mathematical Monographs Ser.: vol. 23, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1968, 648 p.
Polyanin, A.D. and Zhurov, A.I. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs, CRC Press, Boca Raton, London, 2022, 382 р. DOI: 10.1201/9781003042297.
Kazakov, A.L. and Orlov, S.S. On some exact solutions to a nonlinear heat equation. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2016, 22 (1), 112–123. (In Russian).
Kazakov, A.L. and Orlov, S.S. Сonstruction and study of exact solutions to a nonlinear heat equation. Siberian Mathematical Journal, 2018, 59 (3), 427–441. DOI: 10.1134/S0037446618030060.
Kazakov, A.L. On exact solutions to a heat wave propagation boundary-value problem for a nonlinear heat equation. Sibirskie Elektronnye Matematicheskiye Izvestiya, 2019, 16, 1057–1068. (In Russian). DOI: 10.33048/semi.2019.16.073.
Kazakov, A.L., Nefedova, O.A., and Spevak, L.F. Solution of the problem of initiating the heat wave for a nonlinear heat conduction equation using the boundary element method. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2019, 59 (6), 1015–1029. DOI: 10.1134/S0965542519060083.
Kudryashov, N.A. and Chmykhov, M.A. Approximate solutions to one-dimensional nonlinear heat conduction problems with a given flux. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2007, 47, 107–117. DOI: 10.1134/S0965542507010113.
Chen, W., Fu, Zh.-J., and Chen, C.S. Recent Advances in Radial Basis Function Collocation Methods, Springer, Heidelberg, Berlin, 2013, 90 p.
Chen, C., Karageorghis, A., and Smyrlis, Y. The Method of Fundamental Solutions: A Meshless Method, Dynamic Publishers, Atlanta, 2008.
Nardini, N. and Brebbia, C.A. A new approach to free vibration analysis using boundary elements. Applied Mathematical Modelling, 983, 7 (3), 157–162. DOI: 10.1016/0307-904X(83)90003-3.
Kazakov, A.L., Spevak, L.F. and Nefedova, O.A. On the numerical-analytical approaches to solving a nonlinear heat conduction equation with a singularity. Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures, 2018, 6, 100–116. DOI: 10.17804/2410-9908.2018.6.100-116. Available at: http://dream-journal.org/issues/2018-6/2018-6_232.html
Kazakov, A.L., Spevak, L.F., Spevak, E.L. On numerical methods for constructing benchmark solutions to a nonlinear heat equation with a singularity. Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures, 2020, 5, 26–44. DOI: 10.17804/2410-9908.2020.5.026-044. Available at: http://dream-journal.org/issues/2020-5/2
Kazakov, A.L. Solutions to nonlinear evolutionary parabolic equations of the diffusion wave type. Symmetry, 2021, 13 (5), 871. DOI: 10.3390/sym13050871.
Kazakov, A. and Lempert, A. Diffusion-wave type solutions to the second-order evolutionary equation with power nonlinearities. Mathematics, 2022, 10 (2), 232. DOI: 10.3390/math10020232.
Kazakov, A. and Spevak, L. Constructing exact and approximate diffusion wave solutions for a quasilinear parabolic equation with power nonlinearities. Mathematics, 2022, vol. 10 (9), 1559. DOI: 10.3390/math10091559.
Sidorov, A.F. Izbrannye trudy. Matematika. Mekhanika [Selected Works: Mathematics. Mechanics]. Fizmatlit Publ., Moscow, 2001, 576 p. (In Russian).
Sedov, L.I. Similarity and Dimensional Methods in Mechanics, CRC Press, Boca Raton, 1993, 496 p. DOI: 10.1201/9780203739730.
Arnold, V.L. Ordinary Differential Equations, The MIT Press, 1978, 280 p.
Kozlov, V.V. Sofya Kovalevskaya: a mathematician and a person. Russian Mathematical Surveys, 2000, 55 (6), 1175–1192. DOI: 10.1070/rm2000v055n06ABEH000353.
Buhmann, M.D. Radial Basis Functions, Cambridge University Press, Cambridge, 2003, 259 p. DOI: 10.1017/CBO9780511543241.
Fornberg, B. and Flyer, N. Solving PDEs with radial basis functions. Acta Numerica, 2015, 24, 215–258. DOI: 10.1017/S0962492914000130. 914000130.

А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Работа посвящена проблеме построения точных решений вырождающегося уравнения теплопроводности со степенной нелинейностью в случае многих независимых переменных при наличии пространственной (например, осевой или центральной) симметрии. Предложен новый класс автомодельных решений, нахождение которых сводится к решению задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, имеющего особенности при старшей производной относительно искомой функции и/или независимой переменной. Изучение обыкновенного дифференциального уравнения проводится двумя способами: аналитическим и численным. В ходе аналитического исследования применяются отрезки рядов Тейлора с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами, для которых получены явные формулы. Для численного решения задачи используется итерационный алгоритм, основанный на методе коллокаций и радиальных базисных функциях. Проведенный численный анализ показал сходимость предложенного численного алгоритма, а также его достаточную точность, позволяющую использовать найденные автомодельные решения для верификации приближенных решений исходного уравнения теплопроводности. Также численный анализ позволил оценить радиус сходимости построенных рядов Тейлора. Вид построенных автомодельных решений, а именно их неограниченность вблизи центра (оси) симметрии, дал возможность исследовать поведение и точность обладающих тем же свойством численных решений нелинейного вырождающегося уравнения параболического типа, полученных с помощью предложенного авторами ранее пошагового метода решения.

Благодарности: Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки России (тема № 124020600042-9).

Ключевые слова: нелинейное уравнение теплопроводности, точное решение, автомодельное решение, обыкновенное дифференциальное уравнение, степенной ряд, метод коллокаций, радиальные базисные функции

Библиография:

Курант Р. Уравнения с частными производными / пер. с англ. Т. Д. Вентцель. – М. : Мир, 1964. – 832 с.
Evans L. Partial Diﬀerential Equations. Vol. 19 : Graduate Studies in Mathematics. – 2nd ed. – Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 2010. – 749 р.
Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. – М. : Либроком, 2009. – 383 с.
Режимы с обострением в задачах для нелинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов – М. : Наука, 1987. – 476 с.
Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. – Oxford : Clarendon Press, 2007. – 648 р.
DiBenedetto E. Degenerate parabolic equations. – New York : Springer–Verlag, 1993. – 388 p.
Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – М. : Наука, 1967. – 736 с.
Polyanin A. D., Zhurov A. I. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs. – Boca Raton, London : CRC Press, 2022. – 382 р. – DOI: 10.1201/9781003042297.
Казаков А. Л., Орлов С. С. О некоторых точных решениях нелинейного уравнения теплопроводности // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2016. – Т. 22, № 1. – С. 112–123.
Казаков А. Л., Орлов С. С., Орлов С. С. Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности // Сибирский математический журнал. – 2018. – Т. 59, № 3. – С. 544–560. – DOI: 10.17377/smzh.2018.59.306.
Казаков А. Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нелинейной теплопроводности // Сибирские электронные математические известия. – 2019. – Т. 16. – С. 1057–1068. – DOI: 10.33048/semi.2019.16.073.
Казаков А. Л., Нефедова О. А., Спевак Л. Ф. Решение задач об инициировании тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности методом граничных элементов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2019. – Т. 59, № 6. – С. 1047–1062. – DOI: 10.1134/S0044466919060085.
Кудряшов Н. А., Чмыхов М. А. Приближенные решения одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2007. – Т. 47, № 1. – С. 110–120.
Chen C. S., Chen W., Fu Z. J. Recent Advances in Radial Basis Function Collocation Methods. – Berlin, Heidelberg : Springer, 2013. – 90 p. – DOI: 10.1007/978-3-642-39572-7.
The method of fundamental solutions: a meshless method / ed. by C. S. Chen, A. Karageorghis, Y. S. Smyrlis. – Atlanta : Dynamic Publishers, 2008.
Nardini N., Brebbia C. A. A new approach to free vibration analysis using boundary elements // Applied Mathematical Modelling. – 1983. – Vol. 7, iss. 3. – P. 157–162. – DOI: 10.1016/0307-904X(83)90003-3.
Kazakov A. L., Spevak L. F., Nefedova O. A. On the numerical-analytical approaches to solving a nonlinear heat conduction equation with a singularity // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. – 2018. – Iss. 6. – P. 100–116. – DOI: 10.17804/2410-9908.2018.6.100-116. – URL: http://dream-journal.org/issues/2018-6/2018-6_232.html
Kazakov A. L., Spevak L. F., Spevak E. L. On numerical methods for constructing benchmark solutions to a nonlinear heat equation with a singularity // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. – 2020. – Iss. 5. – P. 26–44. – DOI: 10.17804/2410-9908.2020.5.026-044. – URL: http://dream-journal.org/issues/2020-5/2
Kazakov A. L. Solutions to nonlinear evolutionary parabolic equations of the diﬀusion wave type // Symmetry. – 2021. – Vol. 13. – P. 871. – DOI:10.3390/sym13050871.
Kazakov A. L., Lempert A. A. Diﬀusion-wave type solutions to the second-order evolutionary equation with power nonlinearities // Mathematics. – 2022. – Vol. 10. – 232. – DOI: 10.3390/math10020232.
Kazakov A. L., Spevak L. F. Constructing exact and approximate diffusionwave solutions for a quasilinear parabolic equation with power nonlinearities // Mathematics. – 2022. – Vol. 10. – P. 1559. – DOI: 10.3390/math10091559.
Сидоров А. Ф. Избранные труды. Математика. Механика. – М. : Физматлит, 2001. – 576 c.
Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. – М. : Наука, 1987. – 432 с.
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М. : МЦНМО, 2018. – 344 c.
Kozlov V. V. Sofya Kovalevskaya: a mathematician and a person // Russian Mathematical Surveys. – 2000. – Vol. 55, iss. 6. – P. 1175–1192. – DOI: https://doi.org/10.1070/rm2000v055n06ABEH000353
Buhmann M. D. Radial Basis Functions. – Cambridge : Cambridge University Press, 2003. – 259 p. – DOI: 10.1017/CBO9780511543241.
Fornberg B., Flyer N. Solving PDEs with radial basis functions // Acta Numerica. – 2015. – Vol. 24. – P. 215–258. – DOI: 10.1017/S0962492914000130.

Библиографическая ссылка на статью

Kazakov A. L., Spevak L. F. Self-Similar Solutions to a Multidimensional Singular Heat Equation with Power Nonlinearity // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2024. - Iss. 2. - P. 6-19. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2024.2.006-019. -
URL: http://dream-journal.org/issues/2024-2/2024-2_439.html
(accessed: 20.05.2024).