Электронный научный журнал
 
Diagnostics, Resource and Mechanics 
         of materials and structures
ВыпускиО журналеАвторуРецензентуКонтактыНовостиРегистрация

Все выпуски

Все выпуски
 
2026 Выпуск 1
 
2025 Выпуск 6
 
2025 Выпуск 5
 
2025 Выпуск 4
 
2025 Выпуск 3
 
2025 Выпуск 2
 
2025 Выпуск 1
 
2024 Выпуск 6
 
2024 Выпуск 5
 
2024 Выпуск 4
 
2024 Выпуск 3
 
2024 Выпуск 2
 
2024 Выпуск 1
 
2023 Выпуск 6
 
2023 Выпуск 5
 
2023 Выпуск 4
 
2023 Выпуск 3
 
2023 Выпуск 2
 
2023 Выпуск 1
 
2022 Выпуск 6
 
2022 Выпуск 5
 
2022 Выпуск 4
 
2022 Выпуск 3
 
2022 Выпуск 2
 
2022 Выпуск 1
 
2021 Выпуск 6
 
2021 Выпуск 5
 
2021 Выпуск 4
 
2021 Выпуск 3
 
2021 Выпуск 2
 
2021 Выпуск 1
 
2020 Выпуск 6
 
2020 Выпуск 5
 
2020 Выпуск 4
 
2020 Выпуск 3
 
2020 Выпуск 2
 
2020 Выпуск 1
 
2019 Выпуск 6
 
2019 Выпуск 5
 
2019 Выпуск 4
 
2019 Выпуск 3
 
2019 Выпуск 2
 
2019 Выпуск 1
 
2018 Выпуск 6
 
2018 Выпуск 5
 
2018 Выпуск 4
 
2018 Выпуск 3
 
2018 Выпуск 2
 
2018 Выпуск 1
 
2017 Выпуск 6
 
2017 Выпуск 5
 
2017 Выпуск 4
 
2017 Выпуск 3
 
2017 Выпуск 2
 
2017 Выпуск 1
 
2016 Выпуск 6
 
2016 Выпуск 5
 
2016 Выпуск 4
 
2016 Выпуск 3
 
2016 Выпуск 2
 
2016 Выпуск 1
 
2015 Выпуск 6
 
2015 Выпуск 5
 
2015 Выпуск 4
 
2015 Выпуск 3
 
2015 Выпуск 2
 
2015 Выпуск 1

 

 

 

 

 

K. V. Gubareva, E. Yu. Prosviryakov, A. V. Eremin

ANALYTICAL SOLUTION TO THE GENERALIZED NUSSELT–COUETTE–POISEUILLE PROBLEM FOR A MULTILAYER INHOMOGENEOUS SHEAR FLOW

DOI: 10.17804/2410-9908.2026.1.006-022

This paper presents an investigation of an inhomogeneous shear flow of a viscous fluid in the gap between two parallel plates affected by a pressure gradient and gravity. It discusses a generalized formulation of the classical Nusselt–Couette–Poiseuille problem, supplemented by nontrivial boundary conditions including velocity derivatives at the moving boundary. This formulation allows one to model complex physical interactions at the interface and leads to the emergence of multilayer flow structures with alternating directions. The emphasis is on establishing analytical conditions under which the longitudinal velocity profile acquires multiple zeros within the fluid layer, thus corresponding to the formation of stable counter-current zones. The methodological foundation for the study combines an analytical solution to the full system of Navier–Stokes equations with subsequent analysis and parametric investigations. The possibility of the existence of stationary laminar flows with two and three internal zeros of longitudinal velocity, corresponding to two- and three-layer flow stratification, is rigorously proved for the first time. The flow regimes are systematically classified based on the introduced dimensionless parameters, the spatial evolution of the velocity field is analyzed, and the structural stability of multilayer configurations is studied. The obtained results are of significant importance for a deeper understanding of the physics of complex shear flows and open new possibilities for controlling the flow structure in problems of heat and mass transfer in thin layers, microfluidic systems, and modern technologies of applying functional coatings.

Keywords: Nusselt–Couette–Poiseuille flow, multilayer flow, counter-current zones, analytical solution, velocity zeros, shear flow, flow stratification, nonlinear boundary conditions

References:

  1. Couette, M. Études sur le frottement des liquids. Annales de Chimie et de Physique, 1890, 21, 433–510.
  2. Poiseuille, J.L. Recherches experimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de tres-petits diametres, Imprimerie Royale, 1844, 111 p.
  3. Nusselt, W. Das Grundgesetz des Wärmeüberganges. Gesundheits-Ingenieur, 1915, 38, 477–482, 490–496.
  4. Batchelor, G.K. An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 2000, 658 p.
  5. Kundu, P.K., Cohen, I.M., and Dowling, D.R Fluid Mechanics, 5th ed., Academic Press, 2012, 892 p.
  6. Schlichting, H., Gersten K. Boundary-Layer Theory, Springer, Berlin, Heidelberg, 2017, 805 p. DOI: 10.1007/978-3-662-52919-5.
  7. Pozrikidis, C. Introduction to Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 2nd ed., Oxford University Press, 2011, 1296 p.
  8. Burmasheva, N.V. and Prosviryakov, E.Yu. Inhomogeneous Nusselt–Couette–Poiseuille flow. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2022, 56, 662–668. DOI: 10.1134/S0040579522050207.
  9. Burmasheva, N.V. and Prosviryakov, E.Yu. Exact solutions to the Navier–Stokes equations for describing the convective flows of multilayer fluids. Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2022, 18 (3), 397–410. DOI: 10.20537/nd220305.
  10. Burmasheva, N.V. and Prosviryakov, E.Yu. Exact solutions to the Navier–Stokes equations describing stratified fluid flows. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2021, 25 (3), 491–507. DOI: 10.14498/vsgtu1860.
  11. Stone, H.A., Stroock, A.D., and Ajdari, A. Engineering flows in small devices: microfluidics toward a lab-on-a-chip. Annual Review of Fluid Mechanics, 2004, 36, 381–411. DOI: 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122124.
  12. Squires, T.M. and Quake, S.R. Microfluidics: fluid physics at the nanoliter scale. Reviews of Modern Physics, 2005, 77, 977–1026. DOI: 10.1103/RevModPhys.77.977.
  13. Scriven, L.E. Physics and applications of DIP coating and spin coating. MRS Online Proceedings Library, 1988, 121, 717–729. DOI: 10.1557/PROC-121-717.
  14. Pedlosky, J. Geophysical Fluid Dynamics, Springer, New York, NY, 2013, 710.
  15. Aristov, S.N. and Prosviryakov, E.Yu. Nonuniform convective Couette flow. Fluid Dynamics, 2016, 51, 581–587. DOI: 10.1134/S001546281605001X.
  16. Aristov, S.N. and Prosviryakov, E.Yu. Inhomogeneous Couette flow. Nelineynaya Dynamika, 2014, 10 (2), 177–182. (In Russian).
  17. Prosviryakov, E.Yu. and Spevak, L.F. Layered three-dimensional nonuniform viscous incompressible flows. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2018, 52, 765–770. DOI: 10.1134/S0040579518050391.
  18. White, F.M. Viscous Fluid Flow, 3rd ed., McGraw-Hill, 2005, 656 p.
  19. Wang, C.Y. Exact solutions of the steady-state Navier–Stokes equations. Annu. Rev. Fluid Mech., 1991, 23, 159–177. DOI: 10.1146/annurev.fl.23.010191.001111.
  20. Ershkov, S.V., Prosviryakov, E.Yu, Burmasheva, N.V, and Christianto, V. Towards understanding the algorithms for solving the Navier–Stokes equations. Fluid Dynamics Research, 2021, 53 (4), 044501. DOI: 10.1088/1873-7005/ac10f0.
  21. Ershkov, S.V., Prosviryakov, E.Yu., Burmasheva, N.V., and Christianto, V. Solving the hydrodynamical system of equations of inhomogeneous fluid flows with thermal diffusion: a review. Symmetry, 2023, 15 (10), 1825. DOI: 10.3390/sym15101825.
  22. Drazin, P.G. and Reid, W.H. Hydrodynamic Stability, 2nd ed., Cambridge University Press, 2004, 605 p.
  23. Doedel, E., Keller, H.B., and Kernevez, J.P. Numerical analysis and control of bifurcation problems (I): bifurcation in finite dimensions. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1991, 01 (03), 493–520. DOI: 10.1142/S0218127491000397.
  24. Boyd, J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods, 2nd ed., Dover Publications, Mineola, New York, 2000.
  25. Burmasheva, N.V., Dyachkova, A.V., and Prosviryakov, E.Yu. Inhomogeneous Poiseuille flow. Vestnik TGU. Matematika i Mekhanika, 2022, 77, 68–85. (In Russian). DOI: 10.17223/19988621/77/6.
  26. Ershkov, S., Burmasheva, N., Leshchenko, D.D., and Prosviryakov, E.Yu. Exact solutions of the Oberbeck–Boussinesq equations for the description of shear thermal diffusion of Newtonian fluid flows. Symmetry, 2023, 15 (9), 1730. DOI: 10.3390/sym15091730.
  27. Goruleva, L.S. and Prosviryakov, E.Yu. The Couette–Poiseuille inhomogeneous shear flow at the motion of the lower boundary of the horizontal layer. Khimicheskaya Fizika i Mezoskopiya, 2021, 23 (4), 403–411. (In Russian). DOI: 10.15350/17270529.2021.4.36.
  28. Burmasheva, N., Ershkov, S., Prosviryakov, E., and Leshchenko, D. Exact solutions of Navier–Stokes equations for quasi-two-dimensional flows with Rayleigh friction. Fluids, 2023, 8 (4), 123. DOI: 10.3390/fluids8040123.
  29. Burmasheva, N.V. and Prosviryakov, E.Yu. Exact solution of Navier–Stokes equations describing spatially inhomogeneous flows of a rotating fluid. Trudy IMM UrO RAN, 2020, 26 (2), 79–87. (In Russian). DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-79-87.
  30. Aristov, S.N. and Prosviryakov, E.Yu. Stokes waves in a swirling fluid. Nelineynaya Dinamika, 2014, 10 (3), 309–318. (In Russian).
  31. Uzdenova, A., Kovalenko, A., Prosviryakov, E., and Urtenov, M. Mathematical modeling of the influence of the Karman vortex street on mass transfer in electromembrane systems. Membranes, 2023, 13 (4), 394. DOI: 10.3390/membranes13040394.
  32. Riley, N. Steady streaming. Annual Review of Fluid Mechanics, 2001, 33, 43–65. DOI: 10.1146/annurev.fluid.33.1.43.
  33. Shankar, P.N. and Deshpande, M.D. Fluid mechanics in the driven cavity. Annual Review of Fluid Mechanics, 2000, 32, 93–136. DOI: 10.1146/annurev.fluid.32.1.93.

К. В. Губарева, Е. Ю. Просвиряков, А. В. Еремин

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ НУССЕЛЬТА – КУЭТТА – ПУАЗЕЙЛЯ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО СДВИГОВОГО ТЕЧЕНИЯ

В работе представлено исследование неоднородного сдвигового течения вязкой жидкости в зазоре между двумя параллельными пластинами под действием градиента давления и силы тяжести. Рассмотрена обобщенная постановка классической задачи Нуссельта – Куэтта – Пуазейля, дополненная нетривиальными граничными условиями, включающими производные скорости на движущейся границе. Такая постановка позволяет моделировать сложные физические взаимодействия на границе раздела и приводит к возникновению многослойных структур течения с чередующимися направлениями. Основное внимание уделено установлению аналитических условий, при которых профиль продольной скорости приобретает кратные нули внутри слоя жидкости, что соответствует формированию устойчивых зон противонаправленного течения. Методологическая основа исследования сочетает аналитическое решение полной системы уравнений Навье – Стокса с последующим анализом и параметрическими исследованиями. Впервые строго доказана возможность существования стационарных ламинарных течений с двумя и тремя внутренними нулями продольной скорости, соответствующими двух- и трехслойной стратификации потока. Проведена систематическая классификация режимов течения на основе введенных безразмерных параметров, проанализирована пространственная эволюция поля скоростей, и исследована структурная устойчивость многослойных конфигураций. Полученные результаты имеют существенное значение для углубленного понимания физики сложных сдвиговых течений и открывают новые возможности для управления структурой потока в задачах тепломассопереноса в тонких слоях, микрофлюидных системах и современных технологиях нанесения функциональных покрытий.

Ключевые слова: течение Нуссельта – Куэтта – Пуазейля, многослойное течение, противонаправленные зоны, аналитическое решение, нули скорости, сдвиговое течение, стратификация течения, нелинейные граничные условия

Библиография:

  1. Couette M. Études sur le frottement des liquids // Annales de Chimie et de Physique. – 1890. – Vol. 21. – P. 433–510.
  2. Poiseuille J. L. Recherches experimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de tres-petits diametres. – Imprimerie Royale, 1844. – 111 p.
  3. Nusselt, W. Das Grundgesetz des Wärmeüberganges // Gesundheits-Ingeneur. – 1915. – Vol. 38. – P. 477–482, 490–496.
  4. Batchelor G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. – Cambridge University Press, 2000. – 658 p.
  5. Kundu P. K., Cohen I. M., Dowling D. R. Fluid mechanics. – 5th ed. – Academic Press, 2012. – 892 p.
  6. Schlichting H., Gersten K. Boundary-Layer Theory. – Berlin ; Heidelberg : Springer, 2017. – 805 p. – DOI: 10.1007/978-3-662-52919-5.
  7. Pozrikidis C. Introduction to Theoretical and Computational Fluid Dynamics. – 2nd ed. – Oxford University Press, 2011. – 1296 p.
  8. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Inhomogeneous Nusselt–Couette–Poiseuille flow // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. – 2022. – Vol. 56. – P. 662–668. – DOI: 10.1134/S0040579522050207.
  9. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Exact solutions to the Navier–Stokes equations for describing the convective flows of multilayer fluids // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. – 2022. – Vol. 18 (3). – P. 397–410. – DOI: 10.20537/nd220305.
  10. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Exact solutions to the Navier–Stokes equations describing stratified fluid flows // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki. – 2021. – Vol. 25 (3). – P. 491–507. – DOI: 10.14498/vsgtu1860.
  11. Stone H. A., Stroock A. D., Ajdari A. Engineering flows in small devices: microfluidics toward a lab-on-a-chip // Annual Review of Fluid Mechanics. – 2004. – Vol. 36. – P. 381–411. – DOI: 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122124.
  12. Squires T. M., Quake S. R. Microfluidics: fluid physics at the nanoliter scale // Reviews of Modern Physics. – 2005. – Vol. 77. – P. 977–1026. – DOI: 10.1103/RevModPhys.77.977.
  13. Scriven L. E. Physics and applications of DIP coating and spin coating // MRS Online Proceedings Library. – 1988. – Vol. 121. – P. 717–729. – DOI: 10.1557/PROC-121-717.
  14. Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics. – New York, NY : Springer, 2013. – 710 p.
  15. Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. Nonuniform convective Couette flow // Fluid Dynamics. – 2016. – Vol. 51. – P. 581–587. – DOI: 10.1134/S001546281605001X.
  16. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Неоднородные течения Куэтта // Нелинейная динамика. – 2014. – Т. 10 (2). – С. 177–182.
  17. Prosviryakov E. Yu., Spevak L. F. Layered three-dimensional nonuniform viscous incompressible flows // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. – 2018. – Vol. 52. – P. 765–770. – DOI: 10.1134/S0040579518050391.
  18. White F. M. Viscous Fluid Flow. – 3rd ed. – McGraw-Hill, 2005. – 656 p.
  19. Wang C. Y. Exact solutions of the steady-state Navier–Stokes equations // Annu. Rev. Fluid Mech. – 1991. – Vol. 23. – P. 159–177. – DOI: 10.1146/annurev.fl.23.010191.001111.
  20. Towards understanding the algorithms for solving the Navier-Stokes equations / S. V. Ershkov, E. Yu. Prosviryakov, N. V. Burmasheva, V. Christianto // Fluid Dynamics Research. – 2021. –Vol. 53 (4). – 044501. – DOI: 10.1088/1873-7005/ac10f0.
  21. Solving the hydrodynamical system of equations of inhomogeneous fluid flows with thermal diffusion: a review / S. V. Ershkov, E. Yu. Prosviryakov, N. V. Burmasheva, V. Christianto // Symmetry. – 2023. – Vol. 15 (10). – P. 1825. – DOI 10.3390/sym15101825.
  22. Drazin P. G., Reid W. H. Hydrodynamic Stability. – 2nd ed. – Cambridge University Press, 2004. – 605 p.
  23. Doedel E., Keller H. B., Kernevez J. P. Numerical analysis and control of bifurcation problems (I): bifurcation in finite dimensions // International Journal of Bifurcation and Chaos. – 1991. – 01 (03). – P. 493–520. – DOI: 10.1142/S0218127491000397.
  24. Boyd J. P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. – 2nd ed. – Mineola, New York : Dover Publications, 2000.
  25. Бурмашева Н. В., Дьячкова А. В., Просвиряков Е. Ю. Неоднородное течение Пуазейля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. – 2022. – № 77. – С. 68–85. – DOI 10.17223/19988621/77/6.
  26. Exact solutions of the Oberbeck–Boussinesq equations for the description of shear thermal diffusion of Newtonian fluid flows / S. Ershkov, N. Burmasheva, D. D. Leshchenko, E. Yu. Prosviryakov // Symmetry. – 2023. – Vol. 15 (9). – 1730. – DOI: 10.3390/sym15091730.
  27. Горулева Л. С., Просвиряков Е. Ю. Неоднородное сдвиговое течение Куэтта-Пуазейля при движении нижней границы горизонтального слоя // Химическая физика и мезоскопия. – 2021. – Т. 23 (4). – С. 403–411. – DOI: 10.15350/17270529.2021.4.36.
  28. Exact solutions of Navier–Stokes equations for quasi-two-dimensional flows with Rayleigh friction / N. Burmasheva, S. Ershkov, E. Prosviryakov, D. Leshchenko // Fluids. – 2023. – Vol. 8 (4). – P. 123. – DOI: 10.3390/fluids8040123.
  29. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Точное решение уравнений Навье–Стокса, описывающее пространственно неоднородные течения вращающейся жидкости // Труды ИММ УрО РАН. – 2020. – Т. 26 (2). – С. 79–87. – DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-79-87.
  30. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Волны Стокса в завихренной жидкости // Нелинейная динамика. – 2014. – Т. 10 (3). – С. 309–318.
  31. Mathematical modeling of the influence of the Karman vortex street on mass transfer in electromembrane systems / A. Uzdenova, A. Kovalenko, E. Prosviryakov, M. Urtenov // Membranes. – 2023. – Vol. 13 (4). – P. 394. – DOI: 10.3390/membranes13040394.
  32. Riley N. Steady streaming // Annual Review of Fluid Mechanics. – 2001. – Vol. 33. – P. 43–65. – DOI: 10.1146/annurev.fluid.33.1.43.
  33. Shankar P. N., Deshpande M. D. Fluid mechanics in the driven cavity // Annual Review of Fluid Mechanics. – 2000. – Vol. 32. – P. 93–136. – DOI: 10.1146/annurev.fluid.32.1.93.

PDF      

Библиографическая ссылка на статью

Gubareva K. V., Prosviryakov E. Yu., Eremin A. V. Analytical Solution to the Generalized Nusselt–couette–poiseuille Problem for a Multilayer Inhomogeneous Shear Flow // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2026. - Iss. 1. - P. 6-22. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2026.1.006-022. -
URL: http://dream-journal.org/issues/content/article_547.html
(accessed: 18.04.2026).

 

импакт-фактор
РИНЦ

категория К2
в перечне ВАК

Белый список
4 уровень

МРДМК 2026
ЦКП Пластометрия
НЭБ РИНЦ
Google Scholar


РНБ
Лань

 

Учредитель:  Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт машиноведения имени Э.С. Горкунова Уральского отделения Российской академии наук
Главный редактор:  С.В.Смирнов
При цитировании ссылка на Электронный научно-технический журнал "Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures" обязательна. Воспроизведение материалов в электронных или иных изданиях без письменного разрешения редакции запрещено. Опубликованные в журнале материалы могут использоваться только в некоммерческих целях.
Контакты  
 
Главная E-mail 0+
 

ISSN 2410-9908 Регистрация СМИ в Роскомнадзоре Эл № ФС77-57355 от 24 марта 2014 г. © ИМАШ УрО РАН 2014-2026, www.imach.uran.ru