Calculating Resonant Frequencies of Axisymmetric Oscillations of Isotropic Cylindrical Rods

S. L. Skalozub

doi:10.17804/2410-9908.2025.4.022-040

S. L. Skalozub

CALCULATING RESONANT FREQUENCIES OF AXISYMMETRIC OSCILLATIONS OF ISOTROPIC CYLINDRICAL RODS

DOI: 10.17804/2410-9908.2025.4.022-040

Resonant longitudinal-transverse axisymmetric oscillations of cylindrical rods made of isotropic materials are analytically studied in accordance with the Pochhammer–Chree theory and the proposed hypothesis that there are no shear stresses at the rod ends during resonance due to reflection of standing shear surface waves attenuating as they move away from the end surface. Correlations relating dimensionless resonant frequencies to the geometric dimensions of the rods and the dynamic characteristics of the material (Poisson’s ratio and shear wave velocity) are presented in a form convenient for calculation. The developed algorithms and calculation programs are used to evaluate, by means of a personal computer and/or a desktop calculator, and tabulate the resonance frequencies of the first and second oscillation modes at different fixed values of Poisson’s ratio within 0.20–0.45 with a step of 0.05 and at discrete values of the rod length-to-diameter ratio within 0.9–5.0 with a step of 0.1. The frequency values are represented as seven-digit numbers with six digits after the decimal point. The evaluation of methodological errors in the calculation of resonant frequencies by comparison with the known results obtained by the Rayleigh–Ritz method reveals their fairly high agreement. The proposed procedure is used to calculate the instrumental errors in the determination of the dynamic characteristics of the material with respect to the experimental data found in the available literature.

Acknowledgement: I am grateful to R. S. Skalozubs for his assistance in the search and delivery of the necessary literature, to A. S. Skalozubs for the computer support of the preparation and formatting of the manuscript and to M. A. Skalozubs for compiling the program and performing calculations using a personal computer.

Keywords: cylindrical rods, dimensionless resonant frequencies, Poisson’s ratio, shear wave velocity

References:

Meleshko, V.V., Yakimenko, N.S., and Ulitko, A.F. Resonance method for determining the elastic constants of finite isotropic cylinders. Akustichniy Visnyk, 2008, 11 (3), 65–75. (In Russian).
Pochhammer, L. Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1876, 1876 (81), 324–336. DOI: 10.1515/crll.1876.81.324.
Chree, C. Longitudinal vibrations of a corcablar bar. The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 1886, 21, 287–298.
Chree, C. On longitudinal vibrations. Quart. J. Pure Appl. Math., 1889, 23, 317-342.
Grinchenko, V.T. and Meleshko, V.V. Garmonicheskie kolebaniya i volny v uprugikh telakh [Harmonic Oscillations and Waves in Elastic Bodies]. Naukova Dumka Publ., Kiev, 1981, 284 p. (In Russian).
Hutchinson, J.R. Axisymmetric vibration of a free finite-length rod. J. Acoust. Soc. Amer., 1972, 51 (1), 233–240.
Grinchenko, V.T. and Meleshko, V.V. Axisymmetric vibrations of an elastic cylinder of finite length. Soviet Physics. Acoustics, 1978, 24 (6), 861–866.
Hutchinson, J.R. Vibrations of solid cylinders. Journal of Applied Mechanics, 1980, 47 (4), 901–907. DOI: 10.1115/1.3153811.
Chernyshev, K.V. and Shegai, V.V. Natural vibrations of solid cylinders of finite length. Akusticheskij Zhurnal, 1977, 23, 4, 627–631. (In Russian).
Kari, L. Axially symmetric modes in finite cylinders – the wave guide solution. Wave Motion, 2003, 37, 191–206. DOI: 10.1016/S0165-2125(02)00070-7.
Puckett, A.D. and Peterson, M.L. A semi-analytical model for predicting multiple propagating axially symmetric modes in cylindrical waveguides. Ultrasonics, 2005, 43 (3), 197–207. DOI: 10.1016/j.ultras.2004.04.008.
Leissa, A.W. and So, J. Comparisons of vibration frequencies for rods and beams from one‐dimensional and three‐dimensional analyses. J. Acoust. Soc. Am., 1995, 98, 2122–2135. DOI: 10.1121/1.414331.
Leissa, A.W. and So, J. Accurate vibration frequencies of circular cylinders from three-dimensional analysis. J. Acoust. Soc. Amer., 1995, 98, 2136–2141. DOI: 10.1121/1.414403.
Nieves, F.J., Bayón, A., and Gascón F. Optimization of the Ritz method to calculate axisymmetric natural vibration frequencies of cylinder. J. Sound Vib., 2008, 311 (1–2), 588–596. DOI: 10.1016/j.jsv.2007.09.010.
Nieves, F.J., Gascón, F., and Bayón, A. An analytical, numerical, and experimental study of the axisymmetric vibrations of a short cylinder. Journal of Sound and Vibration, 2008, 313 (3–5), 617–630. DOI: 10.1016/j.jsv.2007.11.041.
Nieves, F., Gascón, F., and Bayon, A. Precise and direct determination of the elastic constants of a cylinder with a length equal to its diameter. Review of Scientific Instruments, 2000, 71 (6), 2433-2439. DOI: 10.1063/1.1150632.
Stupin, V.A. Calculation of longitudinal oscillations in a cylinder of finite dimensions. Russian Journal of Nondestructive Testing, 2000, 36, 896–899. DOI: 10.1023/A:1016722511722.
Sibayama, K. Piezoceramic transducers as short rods. In: Y. Kikuchi, ed., Ultrazvukovye preobrazovateli [Ultrasonic Transducers]. Mir Publ., Moscow, ch. 9, 1972, pp. 310–352. (In Russian).
Gadzhibekov, T.A. and Ilyashenko, A.V. Theoretical aspects of the application of Pochhammer–Chree waves to the problems of determining the dynamic Poisson’s ratio. Mechanics of Solids, 2021, 56, 702–714. DOI: 10.3103/S0025654421050095.
Mokryakov, V.V. Stresses in Pochhammer–Chree axisymmetric waves in the medium-wavelength range. Acoustical Physics, 2022, 68 (3), 206–214. DOI: 10.1134/S1063771022030095.

Popov, A.L. and Sadovsky, S.A. On the correspondence of theoretical models of longitudinal vibrations of a rod with experimental data. Vestnik Sankt-Petersburgskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Astronomiya, 2021, 8 (2), 270–281. (In Russian). DOI: 10.21638/spbu01.2021.207.
Love, A.E.H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Cambridge University Press, Cambridge, 1920, 624 p.
Zemanek, J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in a cylinder. J. Acoust. Soc. Amer., 1972, 51, 265-283.
Mokryakov, V. Maximal stresses of the longitudinal Pochhammer–Chree waves. Procedia Structural Integrity, 2019, 23, 143–148. DOI: 10.1016/j.prostr.2020.01.077.
Babich, V.M. and Kiselev A.P. Uprugie volny. Vysokochastotnaya teoriya [Elastic Waves. A High-Frequency Theory]. BKhV-Peterburg Publ., S.-Petersburg, 2014, 320 p. (In Russian). DOI: 10.1201/b21845.
Landau, L.D. and Lifshits, E.M. Teoreticheskaya Fizika. Teoriya Uprugosti [Theoretical Physics, Elasticity Theory]. Nauka Publ., Moscow, 1987, vol. 7, 248 p. (In Russian).
Available at: https://www.calculate.co.nz/bessel-functions-calculator.php
Ganopolskiy, V.V., Kasatkin, B.A., Legusha, F.F., Prudko, N.I., and Pugachev, S.I. Pyezokeramicheskie preobrazovateli [The Piezoceramic Transducers: The Handbook]. Sudostroenie Publ., Leningrad, 1984, 256 p. (In Russian).
Nieves, F.J., Gascón, F., and Bayón, A. On the natural frequencies of short cylinders and the universal point. Direct determination of the shear modulus. The Journal of the Acoustical Society of America, 2004, 115, 2928–2936. DOI: 10.1121/1.1739485.

С. Л. Скалозуб

РАСЧЕТ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

Аналитически рассмотрены резонансные продольно-поперечные осесимметричные колебания цилиндрических стержней из изотропных материалов в соответствии с теорией Похгаммера – Кри и предложенной гипотезой об отсутствии на торцах стержня при резонансе сдвиговых напряжений вследствие отражения стоячих сдвиговых поверхностных волн, затухающих по мере удаления от поверхности торца. Представлены в удобном для расчетов виде соотношения, связывающие безразмерные резонансные частоты с геометрическими размерами стержней и динамическими характеристиками материала (коэффициентом Пуассона и скоростью сдвиговых волн). По разработанным алгоритмам и программам выполнения расчетов посредством персонального компьютера и/или настольного калькулятора вычислены и сведены в таблицы значения безразмерных резонансных частот первой и второй форм колебаний при разных фиксированных значениях коэффициента Пуассона в пределах 0,20–0,45 с шагом 0,05 и дискретных значениях отношений длины стержня к диаметру в пределах 0,9–5,0 с шагом 0,1. Значения частот представлены в виде семизначных чисел с шестью цифрами после запятой. Оценка методических погрешностей расчета резонансных частот путем сравнения с известными результатами, полученными методом Рэлея – Ритца, выявила их достаточно высокую сходимость. По предложенной методике рассчитаны инструментальные погрешности определения динамических характеристик материала применительно к экспериментальным данным, приведенным в доступных литературных источниках.

Благодарность: Автор выражает благодарность Р. С. Скалозубу за помощь в поиске и доставке необходимой литературы, А. С. Скалозубу за компьютерное сопровождение при подготовке и оформлении рукописи статьи и М. А. Скалозубу за составление программы и выполнение расчетов посредством персонального компьютера.

Ключевые слова: цилиндрические стержни, безразмерные резонансные частоты, коэффициент Пуассона, скорость сдвиговых волн

Библиография:

Мелешко В. В., Якименко Н. С., Улитко А. Ф. Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров // Акустичний вiсник. - 2008. - Т. 11 (3). - С. 65-75.
Pochhammer L. Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder // Journal für die reine und angewandte Mathematik. – 1876. – Vol. 1876 (81). – P. 324–336. – DOI: 10.1515/crll.1876.81.324.
Chree C. Longitudinal vibrations of a corcablar bar // The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. – 1886. – Vol. 21. – P. 287–298.
Chree C. On longitudinal vibrations // Quart. J. Math. - 1889. - Vol. 23. - P. 317-342.
Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. - Киев : Наукова думка, 1981. - 284 с.
Hutchinson J. R. Axisymmetric vibration of a free finite-length rod // J. Acoust. Soc. Amer. – 1972. – Vol. 51 (1). – P. 233–240.
Grinchenko V. T., Meleshko V. V. Axisymmetric vibrations of an elastic cylinder of finite length // Soviet Physics. Acoustics. – 1978. – Vol. 24, No. 6. – P. 861–866.
Hutchinson J. R. Vibrations of solid cylinders // Journal of Applied Mechanics. -1980. - Vol. 47 (4). - P. 901-907. – DOI: 10.1515/1.3153811.
Чернышев К. В., Шегай В. В. Собственные колебания твердых цилиндров конечной длины // Акустический журнал. – 1977. – Т. 23 (4). – С. 627–631.
Kari, L. Axially symmetric modes in finite cylinders – the wave guide solution // Wave Motion. – 2003. – Vol. 37. – P. 191–206. – DOI: 10.1016/S0165-2125(02)00070-7.
Puckett A. D., Peterson M. L. A semi-analytical model for predicting multiple propagating axially symmetric modes in cylindrical waveguides // Ultrasonics. – 2005. – Vol. 43 (3). – P. 197–207. – DOI: 10.1016/j.ultras.2004.04.008.
Leissa A. W., So J. Comparisons of vibration frequencies for rods and beam from one-dimensional and three-dimensional analysis // J. Acoust. Soc. Amer. – 1995. – Vol. 98. – P. 2122–2135. – DOI: 10.1121/1.414331.
Leissa A. W., So J. Accurate vibration frequencies of circular cylinders from three-dimensional analysis // J. Acoust. Soc. Amer. – 1995. – Vol. 98. – P. 2136–2141. – DOI: 10.1121/1.414403.
Nieves F. J., Bayón A., Gascón F. Optimization of the Ritz method to calculate axisymmetric natural vibration frequencies of cylinder // J. Sound Vib. – 2008. – Vol. 311 (1–2). – P. 588–596. – DOI: 10.1016/j.jsv.2007.09.010.
Nieves F. J., Gascón F., Bajón A. An analytical, numerical, and experimental study of the axisymmetric vibrations of a short cylinder // Journal of Sound and Vibration. - 2008. - Vol. 313 (3–5). - P. 617-630. – DOI: 10.1016/j.jsv.2007.11.041.
Nieves F. J., Gascón F., Bayon A. Precise and direct determination of the elastic constants of a cylinder with a length equal to its diameter // Review of Scientific Instruments. - 2000. - Vol. 71 (6). - P. 2433-2439. – DOI: 10.1063/1.1150632.
Stupin V. A. Calculation of longitudinal oscillations in a cylinder of finite dimensions // Russian Journal of Nondestructive Testing. – 2000. – Vol. 36. – P. 896–899. – DOI: 10.1023/A:1016722511722.
Сибаяма К. Пьезокерамические преобразователи в виде коротких стержней // Ультразвуковые преобразователи / под. ред. Е. Кикучи; пер. с англ. – М. : Мир, 1972. – С. 310–352.
Gadzhibekov T. A., Ilyashenko A. V. Theoretical aspects of the application of Pochhammer–Chree waves to the problems of determining the dynamic Poisson’s ratio // Mechanics of Solids. – 2021. – Vol. 56. – P. 702–714. – DOI: 10.3103/S0025654421050095.
Mokryakov V. V. Stresses in Pochhammer–Chree axisymmetric waves in the medium-wavelength range // Acoustical Physics. – 2022. – Vol. 68 (3). – P. 206–214. – DOI: 10.1134/S1063771022030095.
Попов А. Л., Садовский С. А. О соответствии теоретических моделейпродольных колебаний стержня экспериментальным данным // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. – 2021. – Т. 8 (2). – С. 270–281. – DOI: 10.21638/spbu01.2021.207.
Ляв А. Математическая теория упругости / пер. с англ. – М.–Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 674 с.
Zemanek J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in a cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1972. - Vol. 51 (1, part 2). - P. 265-283.
Mokryakov V. V. Maximal stresses of the longitudinal Pochhammer–Chree waves // Procedia Structural Integrity. – 2019. – Vol. 23. – P. 143–148. – DOI: 10.1016/j.prostr.2020.01.077.
Бабич В. М., Киселев А. П. Упругие волны. Высокочастотная теория. - СПб. : БХВ-Петербург, 2014. - 320 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Теория упругости : учебное пособие. - 4-е изд. - М. : Наука, 1987. - 248 с. – Т. 7.
URL: https://www.calculate.co.nz/bessel-functions-calculator.php
Пьезокерамические преобразователи. Методы измерения и расчет параметров : справочник / В. В. Ганопольский, Б. А. Касаткин, Ф. Ф. Легуша, Н. И. Прудько, С. И. Пугачёв / под ред. С. И. Пугачёва. – Л. : Судостроение, 1984. – 256 с.
Nieves F. J.; Gascón F., Bayón A. On the natural frequencies of short cylinders and the universal point. Direct determination of the shear modulus // The Journal of the Acoustical Society of America. – 2004. – Vol. 115. – P. 2928–2936. – DOI: 10.1121/1.1739485.

Библиографическая ссылка на статью

Skalozub S. L. Calculating Resonant Frequencies of Axisymmetric Oscillations of Isotropic Cylindrical Rods // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2025. - Iss. 4. - P. 22-40. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2025.4.022-040. -
URL: http://dream-journal.org/issues/content/article_505.html
(accessed: 18.04.2026).