Calculating Resonant Frequencies of Axisymmetric Oscillations of Isotropic Cylindrical Disks

S. L. Skalozub

doi:10.17804/2410-9908.2024.3.017-028

S. L. Skalozub

CALCULATING RESONANT FREQUENCIES OF AXISYMMETRIC OSCILLATIONS OF ISOTROPIC CYLINDRICAL DISKS

DOI: 10.17804/2410-9908.2024.3.017-028

Resonant axisymmetric oscillations of cylindrical disks made of isotropic materials are analytically considered in accordance with the Kog theory. Relationships of dimensionless resonant frequencies to the geometrical dimensions of the disks and the dynamic characteristics of the material (Poisson’s ratio and shear wave velocity) are presented in a form convenient for calculations. Digital values of resonant frequencies are calculated and summarized in tables at different Poisson’s ratios ranging between 0.20 and 0.45, with a step of 0.05, for a number of discrete thickness-to-diameter ratios ranging from 0 to 0.853145 and from 0 to 0.30 when oscillations of the first and second modes are exited, respectively. The estimation of method errors in resonant frequency calculations based on the comparison with the known results obtained by the Rayleigh-Ritz method has proved their high repeatability. Instrumental errors in determining the dynamic characteristics of the material are calculated in relation to experimental results obtained in a number of well-known studies.

Acknowledgement: I am grateful to R. S. Skalozub for his assistance in the search and delivery of the necessary literature and A. S. Skalozub for the computer support of the preparation and formatting of the manuscript.

Keywords: cylindrical disks, resonant oscillations, dynamic Poisson’s ratio, shear wave velocity

References:

Meleshko, V.V., Yakimenko, N.S., and Ulitko, A.F. Resonance method for determining the elastic constants of finite isotropic cylinders. Akustichniy Visnyk, 2008, 11 (3), 65–75. (In Russian).
Pochhammer, L. Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1876, 81 (4), 324–336. (In German). DOI: 10.1515/crll.1876.81.324.
Cree, C. Longitudinal vibrations of a circular bar. Quart. J. Pure Appl. Math., 1886, 21, 287-298.
Cree, C. On longitudinal vibrations. Quart. J. Pure Appl. Math., 1889, 23, 317-342.
Grinchenko, V.T. and Meleshko, V.V. Garmonicheskie kolebaniya i volny v uprugikh telakh [Harmonic Oscillations and Waves in Elastic Bodies]. Naukova Dumka Publ., Kiev, 1981, 282 p. (In Russian).
Hutchinson, J.R. Axisymmetric vibrations of a free finite-length rod. J. Acoust. Soc. Amer., 1972, 51 (1B), 233-240. DOI: 10.1121/1.1912835.
Grinchenko, V.T. and Meleshko, V.V. High-frequency axisymmetric vibrations of circular disks. Soviet Applied Mechanics, 1976, 12, 1251–1258. DOI: 10.1007/BF00882700.
Grinchenko, V.T. and Meleshko, V.V. Axisymmetric vibrations of an elastic cylinder of finite length. Soviet Physics. Acoustics, 1978, 24 (6), 861–866.
Hutchinson, J.R. Vibrations of solid cylinders. Journal of Applied Mechanics, 1980, 47 (4), 901-907. DOI: 10.1115/1.3153811.
Chernyshev, K.V. and Shegai, V.V. Natural vibrations of solid cylinders of finite length. Akusticheskij Zhurnal, 1977, 23, 4, 627–631. (In Russian).
Kari, L. Axially symmetric modes in finite cylinders – the wave guide solution. Wave Motion, 2003, 37, 191–206. DOI: 10.1016/S0165-2125(02)00070-7.
Puckett, A.D. and Peterson, M.L. A semi-analytical model for predicting multiple propagating axially symmetric modes in cylindrical waveguides. Ultrasonics, 2005, 43 (3), 197-207. DOI: 10.1016/j.ultras.2004.04.008.
Leissa, A.W. and So, J. Comparisons of vibration frequencies for rods and beams from one‐dimensional and three‐dimensional analyses. J. Acoust. Soc. Am., 1995, 98, 2122–2135. DOI: 10.1121/1.414331.
Leissa, A.W. and So, J. Accurate vibration frequencies of circular cylinders from three-dimensional analysis. J. Acoust. Soc. Amer., 1995, 98, 2136-2141. DOI: 10.1121/1.414403.
Nieves, F.J., Bayón, A., and Gascón F. Optimization of the Ritz method to calculate axisymmetric natural vibration frequencies of cylinder. J. Sound Vib., 2008, 311 (1–2), 588-596. DOI: 10.1016/j.jsv.2007.09.010.
Koga, I. Longitudinal vibrations of short circular cylinders. J. Inst. Electr. Eng. Japan., 1930, 50 (508), 1209–1224.
Stupin, V.A. Calculation of longitudinal oscillations in a cylinder of finite dimensions. Russian Journal of Nondestructive Testing, 2000, 36, 896–899. DOI: 10.1023/A:1016722511722.
Popov, A.L. and Sadovsky, S.A. On the correspondence of theoretical models of longitudinal vibrations of a rod with experimental data. Vestnik Sankt-Petersburgskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Astronomiya, 2021, 8 (2), 270–281. DOI: 10.21638/spbu01.2021.207.
Gadzhibekov, T.A. and Ilyashenko, A.V. Theoretical aspects of the application of Pochhammer–Chree waves to the problems of determining the dynamic Poisson’s ratio. Mechanics of Solids, 2021, 56, 702–714. DOI: 10.3103/S0025654421050095.
Mokryakov, V.V. Stresses in Pochhammer–Chree axisymmetric waves in the medium-wavelength range. Acoustical Physics, 2022, 68 (3), 206–214. DOI: 10.1134/S1063771022030095.
Shibayama, K. Piezoceramic transducers as short rods. In: Y. Kikuchi, ed., Ultrasonic transducers, ch. 9, Corona Publishing Company, Tokyo, 1969, 406 p.
Ganopolskiy, V.V., Kasatkin, B.A., Legusha, F.F., Prudko, N.I., and Pugachev, S.I. Pyezokeramicheskie preobrazovateli [The Piezoceramic Transducers: The Handbook]. Sudostroenie Publ., Leningrad, 1984, 256 p. (In Russian).
Gaidukov, Yu.P., Danilova, N.P., and Sapozhnikov O. Vibration modes of an isotropic disk with a weak dependence on the disk thickness. Acoustical Physics, 1999, 45 (2), 163–171.
Available at: https: // calculate.co.nz/bessel-function-calculator.php
Nieves, F.J., Gascón, F., and Bayón, A. A multiple frequency in the two lowest axisymmetric vibration modes of a short cylinder. Journal of Sound and Vibration, 2002, 251 (4), 741-749. DOI: 10.1006/jsvi.2001.3862.
Nieves, F.J.; Gascón, F., and Bayón, A. On the natural frequencies of short cylinders and the universal point. Direct determination of the shear modulus. The Journal of the Acoustical Society of America, 2004, 115, 2928-2936. DOI: 10.1121/1.1739485.
McMahon, G.W. Experimental study of the vibrations of solid, isotropic, elastic cylinders. The Journal of the Acoustical Society of America, 1964, 36 (1), 85-92. DOI: 10.1121/1.1918918.

С. Л. Скалозуб

РАСЧЕТ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДИСКОВ

Аналитически рассмотрены резонансные осесимметричные колебания цилиндрических дисков из изотропных материалов в соответствии с теорией Кога. Представлены
в удобном для расчетов виде соотношения, связывающие безразмерные резонансные частоты с геометрическими размерами дисков и динамическими характеристиками материала (коэффициентом Пуассона и скоростью сдвиговых волн). Вычислены и сведены в таблицы цифровые значения безразмерных резонансных частот при разных коэффициентах Пуассона в пределах 0,20–0,45 с шагом 0.05 для ряда дискретных отношений толщины к диаметру дисков
в пределах от 0 до 0,853145 и от 0 до 0,30 при возбуждении колебаний первой и второй форм соответственно. Оценка методических погрешностей расчетов резонансных частот на основе сравнения с известными результатами, полученными методом Рэлея – Ритца, доказала их высокую сходимость. Рассчитаны инструментальные погрешности определения динамических характеристик материала применительно к экспериментальным результатам, полученным в ряде известных работ.

Благодарность: Автор выражает благодарность Р. С. Скалозубу за помощь в поиске и доставке необходимой литературы и А. С. Скалозубу за компьютерное сопровождение при подготов-ке и оформлении рукописи статьи.

Ключевые слова: цилиндрические диски, резонансные колебания, динамический коэффициент Пуассона, скорость сдвиговых волн

Библиография:

Мелешко В. В., Якименко Н. С., Улитко А. Ф. Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров // Акустичний вiсник. - 2008. - Т. 11, № 3. - С. 65-75.
Pochhammer L. Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder // Journal für die reine und angewandte Mathematik. –1876. –81 (4). – S. 324–336. – DOI: 10.1515/crll.1876.81.324.
Cree C. Longitudinal vibrations of a circular bar // Quart. J. Pure Appl. Math. –1886. – Vol. 21. – P. 287–298.
Cree C. On longitudinal vibrations // Quart. J. Pure Appl. Math. – 1889. – Vol. 23. – P. 317–342.
Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. - Киев : Наукова думка, 1981. - 284 с.
Hutchinson J. R. Axisymmetric vibrations of a free finite-length rod // J. Acoust. Soc. Amer. - 1972. - Vol. 51, iss. 1B - P. 233-240. – DOI: 10.1121/1.1912835.
Grinchenko V. T., Meleshko V. V. High-frequency axisymmetric vibrations of circular disks // Soviet Applied Mechanics. – 1976. – Vol. 12. – P. 1251–1258. – DOI: 10.1007/BF00882700.
Grinchenko V. T., Meleshko V. V. Axisymmetric vibrations of an elastic cylinder of finite length // Soviet Physics. Acoustics. – 1978. – Vol. 24, No. 6. – P. 861–866.
Hutchinson J. R. Vibrations of solid cylinders // Journal of Applied Mechanics. - 1980. - Vol. 47 (4). – P. 901-907. – DOI: 10.1115/1.3153811.
Чернышев К. В., Шегай В. В. Собственные колебания твердых цилиндров конечной длины // Акустический журнал. - 1977. - Т. 23, № 4. - С. 627-631.
Kari, L. Axially symmetric modes in finite cylinders – the wave guide solution // Wave Motion. – 2003. – Vol. 37. – P. 191–206. – DOI: 10.1016/S0165-2125(02)00070-7.
Puckett A. D., Peterson M. L. A semi-analytical model for predicting multiple propagating axially symmetric modes in cylindrical waveguides // Ultrasonics. - 2005. - Vol. 43 (3). - P. 197-207. – DOI: 10.1016/j.ultras.2004.04.008.
Leissa A. W., So J. Comparisons of vibration frequencies for rods and beam from one-dimensional and three-dimensional analysis // J. Acoust. Soc. Amer.- 1995. - Vol. 98. - P. 2122-2135. – DOI: 10.1121/1.414331.
Leissa A. W., So J. Accurate vibration frequencies of circular cylinders from three-dimensional analysis // J. Acoust. Soc. Amer. - 1995. - Vol. 98. - P. 2136-2141. – DOI: 10.1121/1.414403.
Nieves F. J., Bayón A., Gascón F. Optimization of the Ritz method to calculate axisymmetric natural vibration frequencies of cylinder // J. Sound Vib. - 2008. - Vol. 311 (1–2). - P. 588-596. – DOI: 10.1016/j.jsv.2007.09.010.
Koga I. Longitudinal vibrations of short circular cylinders // J. Inst. Electr. Eng. Japan. – 1930. – Vol. 50, No. 508. – P. 1209–1224.
Stupin V. A. Calculation of longitudinal oscillations in a cylinder of finite dimensions // Russian Journal of Nondestructive Testing. – 2000. – Vol. 36. – P. 896–899. – DOI: 10.1023/A:1016722511722.
Попов А. Л., Садовский С. А. О соответствии теоретических моделейпродольных колебаний стержня экспериментальным данным // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. – 2021. – Т. 8 (2). – С. 270–281. – DOI: 10.21638/spbu01.2021.207.
Gadzhibekov T. A., Ilyashenko A. V. Theoretical aspects of the application of Pochhammer–Chree waves to the problems of determining the dynamic Poisson’s ratio // Mechanics of Solids. – 2021. – Vol. 56. – P. 702–714. – DOI: 10.3103/S0025654421050095.
Mokryakov V. V. Stresses in Pochhammer–Chree axisymmetric waves in the medium-wavelength range // Acoustical Physics. – 2022. – Vol. 68 (3). – P. 206–214. – DOI: 10.1134/S1063771022030095.
Сибаяма К. Пьезокерамические преобразователи в виде коротких стержней // Ультразвуковые преобразователи / под. ред. Е. Кикучи; пер. с англ. - М. : Мир, 1972. – С. 310-352.
Пьезокерамические преобразователи. Методы измерения и расчет параметров : справочник / В. В. Ганопольский, Б. А. Касаткин, Ф. Ф. Легуша, Н. И. Прудько, С. И. Пугачёв / под ред. С. И. Пугачёва. - Л. : Судостроение, 1984. - 256 с.
Gaidukov Yu. P., Danilova N. P., Sapozhnikov O. Vibration modes of an isotropic disk with a weak dependence on the disk thickness // Acoustical Physics. – 1999. – Vol. 45 (2). – P. 163–171.
URL: https: // calculate.co.nz/bessel-function-calculator.php
Nieves F. J., Gascón F., Bayón A. A multiple frequency in the two lowest axisymmetric vibration modes of a short cylinder // Journal of Sound and Vibration. - 2002. – Vol. 251 (4). - P. 741-749. - DOI: 10.1006/jsvi.2001.3862.
Nieves F. J.; Gascón F., Bayón A. On the natural frequencies of short cylinders and the universal point. Direct determination of the shear modulus // The Journal of the Acoustical Society of America. - 2004. – Vol. 115. – P. 2928-2936. – DOI: 10.1121/1.1739485.
McMahon G. W. Experimental study of the vibrations of solid, isotropic, elastic cylinders // The Journal of the Acoustical Society of America. – 1964. – Vol. 36 (1). – P. 85-92. – DOI: 10.1121/1.1918918.

Библиографическая ссылка на статью

Skalozub S. L. Calculating Resonant Frequencies of Axisymmetric Oscillations of Isotropic Cylindrical Disks // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2024. - Iss. 3. - P. 17-28. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2024.3.017-028. -
URL: http://dream-journal.org/issues/content/article_426.html
(accessed: 21.12.2024).