K. V. Gubareva, E. Yu. Prosviryakov

AN EXACT SOLUTION TO THE STOKES EQUATIONS FOR A LAYER WITH LOCALLY PERMEABLE BOUNDARIES AND A ZERO NET FLUX: A QUASI-THREE-DIMENSIONAL GENERALIZATION OF THE COUETTE FLOW

The paper presents an exact analytical solution to the Stokes equations, which models a creeping flow of a viscous incompressible fluid in a horizontal layer with locally permeable boundaries. On the upper and lower planes, the normal velocity varies sinusoidally along the transverse coordinate; the integral flux through any cross-section is zero, thus ensuring a balance between injection and suction. The continuity equation yields a linear dependence of the longitudinal velocity on the streamwise coordinate, which is incorporated into the boundary conditions as linear functions with unknown coefficients. The resulting flow is a quasi-three‑dimensional generalization of the classical Couette flow. The method of separation of variables is used to derive closed-form expressions for all the velocity components. The pressure is uniform throughout the domain, meaning that the motion is governed solely by viscous stresses and boundary kinematics. The behavior of the solution is analyzed, i.e., the normal velocity decays exponentially from the boundaries toward the mid‑plane, while the longitudinal velocity contains a term proportional to the product of the streamwise coordinate, the permeability parameter, and the hyperbolic sine of the vertical coordinate. Limiting cases are examined, namely impermeable boundaries (classical Couette flow), thin and thick layers. Additionally, cases with different translational velocities of the plates and transverse shear parameters are studied. The only nonzero vorticity component and the shear stress on the plates are calculated. Visualization is performed for parameters typical of microfluidic devices (glycerin, layer thickness 1 mm). The solution can serve as a benchmark test for numerical methods intended to simulate flows with permeable boundaries and balanced mass exchange, as well as to analyze microhydrodynamic systems.

К. В. Губарева, Е. Ю. Просвиряков

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СТОКСА ДЛЯ СЛОЯ С ЛОКАЛЬНО ПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ И НУЛЕВЫМ СУММАРНЫМ ПОТОКОМ – КВАЗИТРЕХМЕРНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА

Представлено точное аналитическое решение уравнений Стокса, моделирующее ползущее течение вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном слое с локально проницаемыми границами. На верхней и нижней плоскостях нормальная скорость изменяется по синусоидальному закону вдоль поперечной координаты; при этом интегральный поток через любое сечение равен нулю, что обеспечивает баланс вдува и отсоса. Уравнение неразрывности порождает линейную зависимость продольной скорости от продольной координаты, которая закладывается в граничные условия как линейные функции с неизвестными коэффициентами. Получаемое течение является квазитрехмерным обобщением классического течения Куэтта. В ходе решения методом разделения переменных получены замкнутые выражения для всех компонент поля скорости. Давление оказывается постоянным во всей области, то есть движение определяется исключительно вязкими напряжениями и кинематикой границ. Проанализировано поведение решения: показано экспоненциальное затухание нормальной скорости от границ к центру слоя; продольная скорость содержит слагаемое, пропорциональное произведению продольной координаты, параметра проницаемости и гиперболического синуса вертикальной координаты. Рассмотрены предельные переходы: отсутствие проницаемости (классическое течение Куэтта), тонкий и толстый слои. Отдельно исследованы случаи с различными скоростями поступательного движения пластин и параметрами поперечного сдвига. Вычислены единственная ненулевая компонента завихренности и касательное напряжение на пластинах. Выполнена визуализация для параметров, характерных для микрофлюидных устройств (глицерин, толщина слоя – 1 мм). Решение может служить эталонным тестом для численных методов, предназначенных для моделирования течений с проницаемыми границами и сбалансированным массообменом, а также для анализа микрогидродинамических систем.

     

Библиографическая ссылка на статью

Gubareva K. V., Prosviryakov E. Yu. An Exact Solution to the Stokes Equations for a Layer with Locally Permeable Boundaries and a Zero Net Flux: a Quasi-Three-Dimensional Generalization of the Couette Flow // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2026. - Iss. 4. - P. 74-87. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2026.4.074-087. -
URL: http://dream-journal.org/issues/2026-4/2026-4_573.html
(accessed: 26.09.2026).