A. L. Kazakov and L. F. Spevak
ANALYTICAL AND NUMERICAL SOLUTIONS TO A NONLINEAR HEAT EQUATION WITH A FRACTIONAL TIME DERIVATIVE
DOI: 10.17804/2410-9908.2025.3.016-030 The paper presents an analytical and numerical study of a degenerate nonlinear heat equation containing a conformable fractional time derivative. It briefly reviews the use of fractional calculus in mathematical models of natural-science processes and phenomena, as well as methods for solving problems containing fractional derivatives. The theorem of the existence and uniqueness of the thermal wave analytical solution at a specified zero front is proved for the equation under study. The analytical solution is constructed in the form of a power series. An incremental algorithm for constructing a numerical solution with difference approximation in time is proposed. The iteration approach based on the collocation method and approximation by radial basis functions is applied at each step. Test calculations are made in order to verify the numerical algorithm, where the numerical solutions are compared with the truncated series representing the analytical solutions.
Acknowledgement: The study was financially supported by the Russian Ministry of Science and Higher Education under the project on Studying and Modeling of the Rheology and Heat-and-Mass Transfer Phenomena in Structured Environments at Variable Initial and Boundary Conditions, No. 124020600042-9. Keywords: parabolic equation, nonlinear heat equation, fractional derivative, conformable derivative, exact solution, existence and uniqueness theorem, analytical solution, numerical solution, collocation method, radial basis functions
А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак
АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ
Работа посвящена аналитическому и численному исследованию вырождающегося нелинейного уравнения теплопроводности, содержащего конформную дробную производную по времени. Приведен краткий обзор применения дробного исчисления в математических моделях естественнонаучных процессов и явлений, а также методов решения задач, содержащих производные дробного порядка. Для рассматриваемого уравнения доказана теорема существования и единственности аналитического решения типа тепловой волны при заданном нулевом фронте. Аналитическое решение строится в виде степенного ряда. Предложен пошаговый алгоритм построения численного решения с разностной аппроксимацией по времени. На каждом шаге применяется итерационный подход, основанный на методе коллокаций и аппроксимации радиальными базисными функциями. Для верификации численного алгоритма проведены тестовые расчеты, в которых численные решения сравнивались с отрезками рядов, в виде которых представлены аналитические решения.
Благодарность: Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках проекта «Исследование и моделирование явлений реологии и тепломассопереноса в средах с внутренней структурой при переменных начальных и граничных условиях» (№ 124020600042-9). Ключевые слова: параболическое уравнение, нелинейное уравнение теплопроводности, дробная производная, конформная производная, теорема существования и единственности, аналитическое решение, численное решение, метод коллокаций, радиальные базисные функции 
Библиографическая ссылка на статью
Spevak A. L. Kazakov and L. F. Analytical and Numerical Solutions to a Nonlinear Heat Equation with a Fractional Time Derivative // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. -
2025. - Iss. 3. - P. 16-30. - DOI: 10.17804/2410-9908.2025.3.016-030. -
URL: http://dream-journal.org/issues/2025-3/2025-3_512.html (accessed: 18.11.2025).
|
