An Exact Solution to the Description of a Unidirectional Marangoni Flow of a Viscous Incompressible Fluid with the Navier Boundary Condition. Velocity Field Investigation

N. V. Burmasheva; E. Yu. Prosviryakov

doi:10.17804/2410-9908.2019.5.023-039

N. V. Burmasheva, E. Yu. Prosviryakov

AN EXACT SOLUTION TO THE DESCRIPTION OF A UNIDIRECTIONAL MARANGONI FLOW OF A VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID WITH THE NAVIER BOUNDARY CONDITION. VELOCITY FIELD INVESTIGATION

DOI: 10.17804/2410-9908.2019.5.023-039

The article considers the unidirectional flow of a viscous incompressible fluid in an infinite horizontal layer of a given thickness, which is induced by the thermocapillary effect specified at the upper boundary of the layer and taking into account the condition of fluid slipping at the lower boundary. An exact solution to the Oberbeck-Boussinesq equation system is obtained. A detailed analysis of the velocity field was carried out for various slip length values. It is shown that counterflows may occur in a fluid. Their number is analyzed, the conditions for the appearance of velocity field stratification are written.

Keywords: layered flow, Oberbeck-Boussinesq equation system, exact solution, unidirectional flow, counterflows, Marangoni convection, Navier condition

References:

Marangoni C. Sull espansione delle goccie di un liquido galleggiante sulla superficie di altro liquid, Pavia, Tipografia dei fratelli Fusi, 1865.
Goldstein S.V. Modern Developments in Fluid Mechanics, Oxford, Oxford Univ. Press, 1938.
Prandtl L., Tietjens O. Hydro- und aeromechanic (2 vols.), Berlin, Verlag von Julius Springer, 1931. DOI: 10.1017/S0368393100115366.
Borzenko E.I., Shrager G.R. The structure of viscoplastic fluid flow during filling of a circular pipe/plane channel. Computational continuum mechanics, 2019, vol. 12, no. 2, pp. 129–136. DOI: 10.7242/1999-6691/2019.12.2.11. (In Russian).
Neto C., Evans D., Bonaccurso E. Boundary slip in Newtonian liquids: a review of experimental studies. Reports on Progress in Physics, 2005, vol. 68, no. 12, pp. 2859−2897. DOI: 10.1088/0034-4885/68/12/R05.
Pelenko V.V., Aret V.A., Gusev B.K., Pelenko F.V. The flow of viscoplastic nonlinear media with boundary slip. In: The Bulletin of KrasGAU: Interuniversity Collection of Scientific Papers, Krasnoyarsk, KrasGAU, 2008, no. 2, pp. 54–57. (In Russian).
Navier С.L.M.H. M'emoire sur les lois du mouvement des fluids. M'em. Acad. Sci. Inst. de France, 1823, vol. 2, no. 6. pp. 389–440.
Lauga E., Brenner M., Stone H. Microfluidics: The No-Slip Boundary Condition. In: C. Tropea, A.L. Yarin, J.F. Foss, ed., Springer Handbook of Experimental Fluid Mechanics, Springer, Berlin, Heidelberg, Springer Handbooks, 2007.
Hoffmann J., Johnson C. Computational Turbulent Incompressible Flow, Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag, 2007, 397 p.
Borzenko E.I., Diakova O.A., Shrager G.R. Studying the slip phenomenon for a viscous fluid flow in a curved channel. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics, 2014, no. 2 (28), pp. 35–44. (In Russian).
Privalova V.V., Prosviryakov E.Yu. Nonlinear isobaric flow of a viscous incompressible fluid in a thin layer with permeable boundaries. Computational continuum mechanics, 2019, vol. 12, no. 2, pp. 230–242. DOI: 10.7242/1999-6691/2019.12.2.20. (In Russian).
Gershuni G.Z., Zhukhovitskii E.M. Convective Stability of Incompressible Fluids, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, Keter Publishing House, 1976, 330 pp.
Ostroumov G.A. Free convection under the condition of the internal problem, Washington, NACA Technical Memorandum 1407, National Advisory Committee for Aeronautics, 1958.
Birikh R.V. Thermocapillary convection in a horizontal layer of liquid. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1966, vol. 7, no. 3, p. 43.
Sidorov A.F. Two classes of solutions of the fluid and gas mechanics equations and their connection to traveling wave theory. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1989, vol. 30, iss. 2, pp 197–203, 1989, no. 2, pp. 34–40. (In Russian).
Andreev V.K., Gaponenko Ya.A., Goncharova O.N., Pukhnachev V.V. Mathematical Models of Convection, Berlin–Boston, De Gryuter Publ., 2012. xv+ + 417 p.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. A new class of exact solutions for three-dimensional thermal diffusion equations. Theor. Found. Chem. Eng., 2016, vol. 50, no. 3, pp. 286–293. DOI: 10.1134/S0040579516030027.
Aristov S.N., Frik P.G. Nonlinear effects of the Ekman layer on the dynamics of largescale eddies in shallow water. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1991, vol. 32, no. 2, pp. 189–194. DOI: 10.1007/BF00858033.
Ingel L.Kh., Aristov S.N. The class of exact solutions of nonlinear problems on thermal circulation associated with volumetric heat release in the atmosphere. In: Tr. In-ta Eksperim. Meteorol., 1996, no. 27 (162), pp. 142–157. (In Russian).
Pukhnachev V.V. Non-stationary analogues of the Birikh solution. Izvestiya AltGU, 2011, no. 1–2, pp. 62–69. (In Russian).
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. On laminar flows of planar free convection. Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2013, vol. 9, no. 4, pp. 651–657. DOI: 10.20537/nd1304004. (In Russian).
Andreev V.K. Resheniya Birikha uravneniy konvektsii i nekotorye ego obobshcheniya: preprint [Birikh Solutions of Convection Equations and Some of its Generalizations: preprint]. Krasnoyarsk, 2010, № 1–10. (In Russian).
Pukhnachev V.V. Group-theoretical methods in the convection problems. In: Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, M.D. Todorov and C.I. Christov, eds., American Institute of Physics, CP 1404, Melwille, NY, 2011, pp. 31–42.
Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. Convective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Velocity field investigation. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2019, vol. 23, no. 2, pp. 341–360. DOI: 10.14498/vsgtu1670.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu., Spevak L.F. Unsteady-state Bénard–Marangoni convection in layered viscous incompressible flows. Theor. Found. Chem. Eng., 2016, vol. 50, no. 2, pp. 132–141. DOI: 10.1134/S0040579516020019.
Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. Temperature field investigation in layered flows of a vertically swirling viscous incompressible fluid under two thermocapillar forces at a free boundary. Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures, 2019, iss. 1, pp. 6–42. DOI: 10.17804/2410-9908.2019.1.006-042. Available at: http://dream-journal.org/DREAM_Issue_1_2019_Burmasheva_N.V._et_al._006_042.pdf
Gorshkov A.V., Prosviryakov E.Yu. Layered Benard–Marangoni convection during heat transfer according to the Newton’s law of cooling. Comp. Research and Modeling, 2016, vol. 8, no. 6, pp. 927–940. (In Russian).
Goncharova O.N., Kabov O.A. Gravitational-thermocapillary convection of fluid in the horizontal layer in co-current gas flow. Dokl. Phys., 2009, vol. 54, no. 5, pp. 242–247. DOI: 10.1134/S1028335809050061.
Bekezhanova V.B. Convective instability of Marangoni-Poiseuille flow under a longitudinal temperature gradient. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2011, vol. 52, no. 1, pp. 74–81. DOI: 10.1134/S0021894411010111.
Gordeeva V.Y., Lyushnin A.V. Influence of the thermocapillary effect on the dynamics and stability of motion of a thin evaporating film. Technical Physics, 2013, vol. 58, no. 3, pp. 351–357. DOI: 10.1134/S1063784213030092.
Aktershev S.P. Thermocapillary effect and periodic structures on the surface of a heated viscous liquid film. In: Proceedings of the Institute of Mechanics of Ural Branch of RAS, 2007, no. 5, pp. 79–84. DOI: 10.21662/uim2007.1.005. (In Russian).
Schlunder E.U. Heat Exchanger Design Handbook, Hemisphere Publishing Corporation, 1983.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. Nonuniform convective Couette flow. Fluid Dynamics, 2016, vol. 51, no. 5, pp. 581–587. DOI: 10.1134/S001546281605001X.
Prosviryakov E.Yu. A new class of exact solutions of the Navier – Stokes equations with a power-law dependence of velocities on two spatial coordinates. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2019, vol. 53, no. 1, pp. 112–120. DOI: 10.1134/S0040357118060118. (In Russian).
Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. A large-scale layered stationary convection of a incompressible viscous fluid under the action of shear stresses at the upper boundary. Velocity field investigation. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.]. 2017, vol. 21, no. 1, pp. 180–196. DOI: 10.14498/vsgtu1527. (In Russian).
Knutova N.S., Shvarts K.G. A study of behavior and stability of an advective thermocapillary flow in a weakly rotating liquid layer under microgravity. Fluid Dyn., 2015, vol. 50, no. 3, pp. 340–350. DOI: 10.1134/S0015462815030047.
Couette M. Études sur le frottement des liquids. Ann. Chim. Phys. Ser. 6, 1890, vol. 21, pp. 433–510.

Н. В. Бурмашева, Е. Ю. Просвиряков

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ОДНОНАПРАВЛЕННОГО ТЕЧЕНИЯ МАРАНГОНИ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ НАВЬЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТИ

В статье рассматривается однонаправленное течение вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном горизонтальном слое заданной толщины, индуцированное заданным на верхней границе слоя термокапиллярным эффектом и учетом на нижней границе условия проскальзывания жидкости. Получено точное решение системы уравнений Обербека-Буссинеска. Проведен подробный анализ поля скорости для различных значений длины проскальзывания. Показано, что в жидкости могут возникать противотечения. Проанализировано их число, выписаны условия появления стратификации поля скорости.

Ключевые слова: слоистое течение, система уравнений Обербека-Буссинеска, точное решение, однонаправленное течение, противотечения, конвекция Марангони, условие Навье

Библиография:

Marangoni C. Sull espansione delle goccie di un liquido galleggiante sulla superficie di altro liquid. – Pavia : Tipografia dei fratelli Fusi, 1865.
Goldstein S. V. Modern Developments in Fluid Mechanics. – Oxford : Oxford Univ. Press, 1938.
Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. Т.2. Движение жидкостей с трением и технические приложения. – М.–Л. : ОНТИ, 1935. – 283 с.
Борзенко Е. И., Шрагер Г. Р. Структура течения вязкопластичной жидкости при заполнении круглой трубы плоского канала // Вычисл. мех. сплошн. сред. – 2019. – Т. 12, вып. 2. – С. 129–136. – DOI: 10.7242/1999-6691/2019.12.2.11.
Neto C., Evans D., Bonaccurso E. Boundary slip in Newtonian liquids: a review of experimental studies // Reports on Progress in Physics. – 2005. – Vol. 68, no. 12 – P. 2859−2897. – DOI: 10.1088/0034-4885/68/12/R05.
Течение вязкопластических нелинейных сред с пограничным проскальзыванием / В. В. Пеленко, В. А. Арет, Б. К. Гусев, Ф. В. Пеленко // Вестн. Красноярск. гос. аграрн. ун-та : межвуз. сб. науч. тр. – 2008. – № 2. – С. 54–57.
Navier С. L. M. H. M'emoire sur les lois du mouvement des fluides // M'em. Acad. Sci. Inst. de France. – 1823. – Vol. 2, no. 6. – P. 389–440.
Lauga E., Brenner M., Stone H. Microfluidics: The No-Slip Boundary Condition // Springer Handbook of Experimental Fluid Mechanics / ed by C. Tropea, A. L. Yarin, J. F. Foss. – Berlin, Heidelberg : Springer Handbooks, 2007.
Hoffmann J., Johnson C. Computational Turbulent Incompressible Flow. – Heidelberg, Berlin : Springer-Verlag, 2007. – 397 p.
Борзенко Е. И., Дьякова О. А., Шрагер Г. Р. Исследование явления проскальзывания в случае течения вязкой жидкости в изогнутом канале // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. – 2014. – Т. 2, вып. 28. – С. 35–44.
Привалова В. В., Просвиряков Е. Ю. Нелинейное изобарическое течение вязкой несжимаемой жидкости в тонком слое с проницаемыми границами // Вычисл. мех. сплошн. сред. – 2019. – Т. 12, вып. 2. – С. 230–242. – DOI: 10.7242/1999-6691/2019.12.2.20.
Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. – М. : Наука, 1972. – 532 с.
Остроумов Г. А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. – М. : Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1952.
Бирих Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости / Р. В. Бирих // Прикладная механика и техническая физика. – 1966. – № 3. – С. 69–72.
Сидоров А. Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // ПМТФ. – 1989 – №. 2 – С. 34–40.
Mathematical Models of Convection / V. K. Andreev, Ya. A. Gaponenko, O. N. Goncharova, V. V. Pukhnachev. – Berlin-Boston : De Gryuter Publ., 2012. – xv+ + 417 p.
Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Новый класс точных решений трехмерных уравнений термодиффузии // Теор. осн. хим. технолог. – 2016. – Т. 50, вып. 3. – P. 294. – DOI: 10.7868/S0040357116030027.
Aristov S. N., Frik P. G. Nonlinear effects of the Ekman layer on the dynamics of largescale eddies in shallow water // J. Appl. Mech. Tech. Phys. – 1991. – Vol. 32, no. 2. – P. 189–194. – DOI: 10.1007/BF00858033.
Ингель Л. Х., Аристов С. Н. Класс точных решений нелинейных задач о термических циркуляциях, связанных с объемным тепловыделением в атмосфере // Тр. ин-та эксперим. метеорол. – 1991. – Вып. 27 (162). – С. 142–157.
Пухначев В. В. Нестационарные аналогии решения Бириха // Известия АлтГУ. – 2011. – Вып. 69 (1/2). – С. 62–69.
Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. О слоистых течениях плоской свободной конвекции // Нелин. динам. – 2013. – Т. 9, вып. 4. – С. 651–657. – DOI: 10.20537/nd1304004.
Андреев В. К. Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения // Красноярск : Ин-т вычисл. мех. СО РАН, препринт №. 1–10, 2010. – 68 с.
Pukhnachev V. V. Group-theoretical methods in the convection problems // In: Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, edited by M. D. Todorov and C. I. Christov. – 2011. – American Institute of Physics, CP 1404, Melwille, NY. – P. 31–42.
Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Convective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Velocity field investigation // Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2019. – Т. 23, вып. 2. – С. 341–360.
Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю., Спевак Л. Ф. Нестационарная конвекция Бенара–Марангони слоистых течений вязкой несжимаемой жидкости // Теор. основы хим. технолог. – 2016. – Т. 50, вып. 2. – С. 137–146. – DOI: 10.7868/S0040357116020019.
Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Temperature field investigation in layered flows of a vertically swirling viscous incompressible fluid under two thermocapillar forces at a free boundary // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. – 2019. – Iss. 1. – P. 6–42. – DOI: 10.17804/2410-9908.2019.1.006-042. – URL: http://dream-journal.org/DREAM_Issue_1_2019_Burmasheva_N.V._et_al._006_042.pdf
Горшков А. В., Просвиряков Е. Ю. Слоистая конвекция Бенара–Марангони при теплообмене по закону Ньютона–Рихмана // Комп. исслед. моделир. – 2016. – Т. 8, вып. 6. – С. 927–940.
Гончарова О. Н., Кабов О. А. Гравитационно-термокапиллярная конвекция жидкости в горизонтальном слое при спутном потоке газа // Доклады академии наук. – 2009. – Т. 54, вып. 5. – С. 183–188.
Бекежанова В. Б. Конвективная неустойчивость течения Марангони–Пуазейля при наличии продольного градиента температуры // Прикл. мех. техн. физ. – 2011. – Т. 52, вып. 1. – С. 92–100.
Гордеева В. Ю., Люшнин А. В. Влияние термокапиллярного эффекта на динамику и устойчивость движения испаряющейся тонкой пленки // Журн. техн. физ. – 2013. – Т. 83, вып. 3. – С. 41–47.
Актершев С. П. Термокапиллярный эффект и периодические структуры на поверхности нагреваемой пленки вязкой жидкости // Тр. инст. мех. УНЦ РАН. – 2007. – Т. 5, вып. 1. – С. 79–84. – DOI: 10.21662/uim2007.1.005.
Справочник по теплообменникам : в 2 т. / пер. с англ. под ред. Б. С. Петухова, В. К. Шикова. – М. : Энергоатомиздат, 1987.
Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. Nonuniform convective Couette flow // Fluid Dynamics. – 2016. – Vol. 51, no. 5. – P. 581–587. – DOI: 10.1134/S001546281605001X.
Просвиряков Е. Ю. Новый класс точных решений уравнений Навье–Стокса со степенной зависимостью скоростей от двух пространственных координат // Теор. осн. хим. техн. – 2019. – Т. 53, вып. 1. – С. 112–120. – DOI: 10.1134/S0040357118060118.
Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование поля скоростей // Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. Науки. – 2017. – Т. 21, вып. 1. – С. 180–196. – DOI: 10.14498/vsgtu1527.
Knutova N. S., Shvarts K. G. A study of behavior and stability of an advective thermocapillary flow in a weakly rotating liquid layer under microgravity // Fluid Dyn. – 2015. – Vol. 50, no. 3. – P. 340–350. – DOI: 10.1134/S0015462815030047.
Couette M. Études sur le frottement des liquids // Ann. Chim. Phys. Ser. 6. – 1890. – Vol. 21. – P. 433–510.

Библиографическая ссылка на статью

Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. An Exact Solution to the Description of a Unidirectional Marangoni Flow of a Viscous Incompressible Fluid with the Navier Boundary Condition. Velocity Field Investigation // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2019. - Iss. 5. - P. 23-39. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2019.5.023-039. -
URL: http://dream-journal.org/issues/content/article_259.html
(accessed: 05.04.2025).