A. L. Kazakov , L. F. Spevak, O. A. Nefedova
ON THE NUMERICAL-ANALYTICAL APPROACHES TO SOLVING A NONLINEAR HEAT CONDUCTION EQUATION WITH A SINGULARITY
DOI: 10.17804/2410-9908.2018.6.100-116 The paper deals with the construction and study of solutions to a nonlinear heat conduction equation in the case of the power-law dependence of the thermal conductivity coefficient on temperature. The parabolic type of the equation degenerates in the case of the zero value of the required function. It acquires some properties typical of first-order equations; particularly, it has solutions with a free boundary in the form of a heat wave propagating at a finite velocity over the cold front. Two types of the boundary conditions are discussed: the specified law of motion of the heat front and the boundary condition specified on a static manifold, initiating a heat wave. A comparative analysis of our developed approaches to solving the boundary value problems is made; namely, local analytical solutions are constructed by the power series method, and numerical-analytical solutions are constructed based on the boundary element method on a specified finite time interval. For some particular cases, the construction reduces to the Cauchy problem for a second-order ordinary nonlinear differential equation with a singularity before the higher derivative. The solution of this equation enables a partially self-similar solution to be constructed for the initial problem. The advantages and applicability of each approach are described. Examples are considered.
Acknowledgement: The work was partially supported by the Complex Program of UB RAS (project No. 18-1-1-5) and the RFBR, project No. 16-01-00608. Keywords: nonlinear heat conduction equation, power series, boundary element method, partially self-similar solution References:
1. Vazquez J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory, Oxford, Clarendon Press, 2007, 648 р. ISBN-10: 0198569033.
2. Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P. Blow-up in Quasilinear Parabolic Equations, NY, Berlin, Walter de Gruyte, 1995, 534 p.
3. Zeldovich Ya.B., Kompaneets A.S. On the theory of heat transfer with a temperature-dependent heat conductivity. In: Sbornik, posvyashchennyi 70-letiyu akademika A.F. Ioffe [Collection in Honor of the 70th Birthday of Academician A.F. Ioffe]. Moscow, Izd. AN SSSR Publ., 1950, pp. 61–71. (In Russian).
4. Barenblatt G.I., Vishik I.M. On finite velocity of propagation of nonstationary filtration of a liquid or gas. Prikladnaya Matematika i Mekhanika, 1956, vol. 20, no. 3, pp. 411–417. (In Russian).
5. Oleinik O.A., Kalashnikov A.S. Chzhou Yui-Lin’. Cauchy problem and boundary problems for equations of nonstationary filtration type. Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., 1958, vol. 22, no. 5, pp. 667–704, (In Russian).
6. Sidorov A.F. In: Izbrannye Trudy: Matematika. Mekhanika [Selected Works: Mathematics. Mechanics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001, 576 p. (In Russian). ISBN 5-9221-0103-Х.
7. Polyanin A.D., Zaytsev V.F., Zhurov A.I. Nelineynye uravneniya matematicheskoy fiziki i mekhaniki. Metody resheniya [Nonlinear Equations in Mathematical Physics and Mechanics: Solution Methods]. Moscow, Yurayt Publ., 2017, 256 p. (In Russian). ISBN 978-5-534-02317-6.
8. Kazakov A.L., Lempert A.A. Analytical and Numerical Studies of the Boundary Value Problem of a Nonlinear Filtration with Degeneration. Vychislitelnye Tekhnologii, 2012, vol. 17, no. 1, pp. 57–68. (In Russian).
9. Kazakov A.L., Lempert A.A. Existence and Uniqueness of the Solution of the Boundary–Value Problem for a Parabolic Equation of Unsteady Filtration. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2013, vol. 54, iss. 2, pp. 251–258. Available at: https://doi.org/10.1134/S0021894413020107.
10. Kazakov A.L., Kuznetsov P.A. On the Analytic Solutions of a Special Boundary Value Problem for a Nonlinear Heat Equation in Polar Coordinates. Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2018, vol. 12, iss. 2, pp. 255–263. Available at: https://doi.org/10.1134%2FS1990478918020060.
11. Kazakov A.L., Kuznetsov P.A., Spevak L.F. On a Degenerate Boundary Value Problem for the Porous Medium Equation in Spherical Coordinates. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2014, vol. 20, no. 1, pp. 119–129. (In Russian).
12. Kazakov A.L., Spevak L.F. Boundary Elements Method and Power Series Method for One-dimensional Nonlinear Filtration Problems. Izvestiya IGU, Seriya “Matematika”, 2012, vol. 5, no. 2, pp. 2–17. (In Russian).
13. Kazakov A.L., Spevak L.F. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equation with boundary conditions of a special form. Applied Mathematical Modelling, 2013, vol. 37, iss. 10–11, pp. 6918–6928. DOI: 10.1016/j.apm.2013.02.026.
14. Kazakov A.L., Spevak L.F. An analytical and numerical study of a nonlinear parabolic equation with degeneration for the cases of circular and spherical symmetry. Applied Mathematical Modelling, 2015, vol. 40, iss. 2, pp. 1333–1343. DOI: 10.1016/j.apm.2015.06.038.
15. Spevak L.F., Nefedova O.A. Solving a two-dimensional nonlinear heat conduction equation with degeneration by the boundary element method with the application of the dual reciprocity method. In: AIP Conference Proceedings, 2016, vol. 1785, iss. 1, pp. 040077. Available at: http://doi.org/10.1063/1.4967134.
16.Kazakov A.L., Spevak L.F., Nefedova O.A. Solution of a two-dimensionel problem on the motion of a heat wave front with the use of power series and the boundary element method. Izvestiya IGU, Seriya “Matematika”, 2016, vol. 18, pp. 21–37. (In Russian).
17. Banerjee P.К., Butterheld R. Boundary element methods in engineering science. US, McGraw-Hill Inc., 1981, 452 р. ISBN-10: 0070841209, ISBN-13: 978-0070841208.
18. Brebbia C.A., Telles J.F.C., Wrobel L.C. Boundary Element Techniques. Berlin, Neidelberg, New York, Tokyo, Springer-Verlag, 1984, 466 р. ISBN: 978-3-642-48862-7. DOI: 10.1007/978-3-642-48860-3.
19. Nardini D., Brebbia C.A. A New Approach to Free Vibration Analysis using Boundary Elements. Applied Mathematical Modelling, 1983, vol. 7, no. 3, pp. 157–162. DOI: 10.1016/0307-904X(83)90003-3.
20. Fedotov V.P., Spevak L.F. One approach to the derivation of exact integration formulae in the boundary element method. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2008, vol. 32, no. 10, pp. 883–888. DOI: 10.1016/j.enganabound.2008.03.001.   А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак, О. А. Нефедова
О ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ ПОДХОДАХ К РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ОСОБЕННОСТЬЮ
Работа посвящена построению и исследованию решений нелинейного уравнения теплопроводности в случай степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. Параболический тип рассматриваемого уравнения вырождается в случае нулевого значения искомой функции. При этом оно приобретает некоторые свойства, характерные для уравнений первого порядка, в частности, обладает решениями со свободной границей типа тепловой волны, распространяющейся по холодному фону с конечной скоростью. Рассматриваются два типа краевых условий: заданный закон движения теплового фронта; краевой режим, заданный на неподвижном многообразии, инициирующий тепловую волну. Проводится сравнительный анализ подходов к решению указанных краевых задач, разработанных авторами: методом степенных рядов строятся локально-аналитические решения; на основе метода граничных элементов на заданном конечном промежутке времени строятся численно-аналитические решения. При этом для отдельных частных случаев построение сводится к задаче Коши для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с особенностью перед старшей производной. Решение этого уравнения позволяет построить для исходной задачи частично-автомодельное решение. Описаны преимущества и области применимости каждого из подходов. Рассмотрены примеры.
Благодарность: Работа выполнена при частичной поддержке Комплексной программы УрО РАН, проект № 18-1-1-5, и РФФИ, проект № 16-01-00608. Ключевые слова: нелинейное уравнение теплопроводности, степенной ряд, метод граничных элементов, частично-автомодельное решение Библиография:
1. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. – Oxford : Clarendon Press, 2007. – 648 р. – ISBN-10: 0198569033, ISBN-13: 978-019856903.
2. Режимы с обострением в задачах для нелинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов – М. : Наука, 1987. – 476 с.
3. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопровод-ности, зависящей от температуры // В кн.: Сборник, посвященный 70-летию академи-ка А. Ф. Иоффе. – М. : Изд-во АН СССР, 1950. – С. 61–71.
4. Баренблатт Г. И., Вишик И. М. О конечной скорости распространения в задачах не-стационарной фильтрации жидкости и газа // Прикладная математика и механика. – 1956. – Т. 20, вып. 3. – С. 411–417.
5. Олейник О. А., Калашников А. С., Чжоу Юй-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Известия АН СССР. Серия мате-матическая. – 1958. – Т. 22, вып. 5. – С. 667–704.
6. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика. – М. : Физматлит, 2001. – 576 c. – ISBN 5-9221-0103-Х.
7. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Нелинейные уравнения математической физики и механики. Методы решения. – М. : Изд-во Юрайт, 2017. – 256 с. – ISBN 978-5-534-02317-6.
8. Казаков А. Л., Лемперт А. А. Аналитическое и численное исследование одной крае-вой задачи нелинейной фильтрации с вырождением // Вычислительные технологии. – 2012. – Т. 17, № 1. – С. 57–68.
9. Kazakov A. L., Lempert A. A. Existence and Uniqueness of the Solution of the Boundary–Value Problem for a Parabolic Equation of Unsteady Filtration. Journal of Applied Mechan-ics and Technical Physics. – 2013. – Vol. 54, iss. 2. – P. 251–258. – URL: https://doi.org/10.1134/S0021894413020107.
10. Казаков А. Л., Кузнецов П. А. Об аналитических решениях одной специальной крае-вой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в полярных координатах // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2018. – Т. 21, № 2(74). – С. 56–65. – DOI: 10.17377/SIBJIM.2018.21.205
11. Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Спевак Л. Ф. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2014. – Т. 20, № 1. – С. 119–129.
12. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф. Методы граничных элементов и степенных рядов в од-номерных задачах нелинейной фильтрации // Известия ИГУ. Серия «Математика». – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 2–17.
13. Kazakov A. L., Spevak L. F. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equation with boundary conditions of a special form // Applied Mathematical Modelling. – 2013. – Vol. 37, iss. 10–11. – P. 6918–6928. – DOI: 10.1016/j.apm.2013.02.026
14. Kazakov A. L., Spevak L. F. An analytical and numerical study of a nonlinear parabolic equation with degeneration for the cases of circular and spherical symmetry // Applied Mathematical Modelling. – 2015. – Vol. 40, iss. 2. – P. 1333–1343. – DOI: 10.1016/j.apm.2015.06.038
15. Spevak L. F., Nefedova O. A. Solving a two-dimensional nonlinear heat conduction equa-tion with degeneration by the boundary element method with the application of the dual rec-iprocity method // AIP Conference Proceedings. – 2016. – Vol. 1785, iss. 1. – P. 040077. – URL: http://doi.org/10.1063/1.4967134
16. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф., Нефедова О. А. Решение двумерной задачи о движении фронта тепловой волны с использование степенных рядов и метода граничных эле-ментов // Известия ИГУ. Серия «Математика». – 2016. – Т. 18. – С. 21–37.
17. Banerjee P. К., Butterheld R. Boundary element methods in engineering science. – US : McGraw-Hill Inc., 1981. – 452 р. ISBN-10: 0070841209, ISBN-13: 978-0070841208.
18. Brebbia C. A., Telles J. F. C., Wrobel L. C. Boundary Element Techniques. – Berlin, Neidel-berg, New-York, Tokyo: Springer-Verlag, 1984. – 466 р. – ISBN 978-3-642-48862-7. – DOI: 10.1007/978-3-642-48860-3
19. Nardini D., Brebbia C. A. A New Approach to Free Vibration Analysis using Boundary El-ements // Applied Mathematical Modelling. – 1983. – Vol. 7, no. 3. – P. 157–162. – DOI: 10.1016/0307-904X(83)90003-3
20. Fedotov V. P., Spevak L. F. One approach to the derivation of exact integration formulae in the boundary element method // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2008. – Vol. 32, no. 10. – P. 883–888. – DOI: 10.1016/j.enganabound.2008.03.001.
 
Библиографическая ссылка на статью
Kazakov A. L., Spevak L. F., Nefedova O. A. On the Numerical-Analytical Approaches to Solving a Nonlinear Heat Conduction Equation with a Singularity // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. -
2018. - Iss. 6. - P. 100-116. - DOI: 10.17804/2410-9908.2018.6.100-116. -
URL: http://dream-journal.org/issues/content/article_232.html (accessed: 21.12.2024).
|
