An Analytical and Numerical Study of Free Boundary Dynamics for An Isolated Mass of a Self-Gravitating Gas

A. L. Kazakov; L. F. Spevak; N. P. Chuev

doi:10.17804/2410-9908.2022.4.061-080

A. L. Kazakov, L. F. Spevak, N. P. Chuev

AN ANALYTICAL AND NUMERICAL STUDY OF FREE BOUNDARY DYNAMICS FOR AN ISOLATED MASS OF A SELF-GRAVITATING GAS

DOI: 10.17804/2410-9908.2022.4.061-080

The paper considers an evolution of the free boundary of a finite volume of a self-gravitating ideal gas moving in the vacuum. Unsteady flows are described by a phenomenological mathematical model, which has the form of a system of nonlinear Volterra integro-differential equations written in Eulerian coordinates. The gas volume moves in a force field generated by the Newtonian potential in general form. The boundary conditions are specified on the free gas-vacuum boundary, which is a priori unknown and determined simultaneously with gas flow construction. Conversion to Lagrangian coordinates allows us to reduce the original problem to an equivalent one, which consists of Volterra integral equations and the continuity equation in Lagrangian form, with Cauchy conditions specified for all these equations. Therefore, the application of Lagrangian coordinates makes it possible, in particular, to eliminate the unknown boundary. The theorem of the existence and uniqueness of the solution in the space of infinitely differentiable functions is proved for this problem. The free boundary is determined as an image of the surface bounding the gas-filled region in reverse transition. Herewith, the method for studying the free boundary is similar to the approach that the authors apply to studying the dynamics of the rarefied mass of a self-gravitating gas. Numerical calculations of gas flow are made, including the construction of the free gas-vacuum boundary. The influence of gravitation and the initial gas particle velocity on the formation of gas cloud configuration in the vacuum and on cloud evolution is studied. The results are of interest in terms of solving relevant astrophysical and cosmogonic problems.

Acknowledgement: The work was financially supported by the RFBR, project No. 20-07-00407

Keywords: gas dynamics, self-gravitating gas, Lagrangian coordinates, nonlinear system of Volterra-type integro-differential equations, Cauchy problem, existence and uniqueness theorem, method of successive approximations, computational experiment

References:

Chandrasekhar S. Ellipsoidal figures of equilibrium. Chicago, Chicago University, 1967, 264 p.
Lamb H. Hydrodynamics, Cambridge, University Press, 1993, 604 p.
Sedov L.I. Similarity and Dimensional Methods in Mechanics, Academic Press, New York and London, 1959. ISBN 978-1-4832-0088-0. DOI: 10.1016/C2013-0-08173-X.
Sedov L.I. On the integration of the equations of one-dimensional motion of a gas. Doklady AN SSSR, 1953, vol. 90, No 5, pp. 735‒739. (In Russian).
Bogoiavlenskii O.I. Dynamics of a gravitating gaseous ellipsoid. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1976, vol. 40, iss. 2, pp. 246–256. DOI: 10.1016/0021-8928(76)90061-7.
Ovsyannikov L.V. Obshchie uravneniya i primery [General equations and examples]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1967, 75 p. (In Russian).
Ovsyannikov L.V. On one class of unsteady motions of incompressible liquid. In: Trudy V sessii uchenogo soveta po narodno-hoziaystvennomy ispol’zovaniyu vzryva [Proc. of the 5^th Session of Scientific Council on Explosion Application in National Economy]. Frunze, Izd-vo Ilim Publ., 1965, pp. 34‒42. (In Russian).
Lavrentieva O.M. On Motion of a Fluid Ellipsoid. Doklady AN SSSR, 1988, vol. 253, No 4, pp. 828‒831. (In Russian).
Strakhovskaya L.G. Evolution model of the self-gravitating gas disk. KIAM Preprint No. 80, Keldysh Inst. Appl. Math., Moscow, 2012. Available at: http://library.keldysh.ru/preprint.aspid=2012-80. (In Russian).
Parshin D.V., Cherevko A.A. & Chupakhin A.P. Steady vortex flows of a self-gravitating gas. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2014, vol. 55, pp. 327–334. DOI: 10.1134/S0021894414020151.
Ovsyannikov L.V. Singular vortex. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1995, vol. 36, pp. 360–366. DOI: 10.1007/BF02369772.
Chuev N.P. On the existence and uniqueness of the solution to the Cauchy problem for a system of integral equations describing the motion of a rarefied mass of a self-gravitating gas, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2020, vol. 60, No. 4, pp. 663–672. DOI: 10.1134/S0965542520040077.
Legkostupov M.S. On a model of the generation of star planet systems of the Sun type. Matematicheskoye modelirovanie, 2020, vol. 32, No. 3, pp. 81–101. DOI: 10.20948/mm-2020-03-05. (In Russian).
Chuev N.P. Analytical method for studying three-dimensional problems in self-gravitating gas dynamics. Vychislitel’nye technologii, 1998, vol. 3, No. 1, pp. 79‒89. (In Russian).
Chuev N.P. The Cauchy problem for system of Volterra integral equations describing the motion of a finite mass of a self-gravitating gas. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2020, vol. 33, pp. 35–50. DOI: 10.26516/1997-7670.2020.33.35. (In Russian).
Chuev N.P. Volterra integral equation method in the study of dynamics of self-gravitating gas bounded by free surface. Herald of the Ural State University of Railway Transport. Scientific journal, 2022, No. 2 (54), pp. 4–23. DOI: 10.20291/2079-0392-2022-2-4-23. (In Russian).
Stanyukovich K.P. Neustanovivshiesya dvizheniya sploshnoy sredy [Unsteady Motion of a Continuous Medium]. Moscow, Nauka Publ., 1971, 875 p. (In Russian).
Gyunter N.M. Teoriya potentsiala i ee primenenie k osnovnym zadacham matematicheskoy fiziki [Potential theory and its application to the basic problems of mathematical physics]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1953, 415 pp. (In Russian).
Sretenskii L.N. Theory of the Newton Potential. Moscow–Leningrad, OGIZ–Gostekhizdat Publ., 1946, 318 p. (In Russian).
Ovsyannikov L.V. Lektsii po osnovam gazovoy dinamiki [Lectures on Basic Gas Dynamics]. Institute of Computer Studies, Moscow, Izhevsk, 2003. (In Russian).
Ovsyannikov L.V. A gas pendulum. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2000, vol. 41, pp. 865–869. DOI: 10.1007/BF02468732.
Vasil’eva A.B., Tikhonov N.A. Integralnye uravneniya [Integral equations]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002, 160 p.

А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак, Н. П. Чуев

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ ИЗОЛИРОВАННОЙ МАССЫ САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ГАЗА

В работе рассматривается эволюция свободной поверхности, которая ограничивает движущуйся в вакууме конечный объем самогравитирующего идеального газа. Неустановившиеся течения описаны феноменологической математической моделью газовой динамики, которая имееет вид системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, записанной в эйлеровых координатах. Движение среды осуществляется в силовом поле, создаваемом ньютоновским потенциалом в общем виде. Краевые условия заданы на свободной границе газ-вакуум, которая заранее неизвестна и определяется одновременно с построением течения газа. Переход к лагранжевым координатам позволяет свести задачу к эквивалентной, состоящей из интегральных уравнений типа Вольтерра и уравнения неразрывности в форме Лагранжа, для которых заданы условия Коши, т. е. применение лагранжевых координат дает возможность, в частности, избавиться от неизвестной границы. Для данной задачи доказана теорема существования и единственности решения в пространстве бесконечно дифференцируемых функций. Свободная граница определяется как образ поверхности, ограничивающей заполненую газом область, при обратном переходе. При этом метод исследования динамики свободной поверхности аналогичен подходу, использованному авторами для исследования динамики разреженной массы самогравитирующего газа. Выполнены численные расчеты течения газа, включая построение свободной границы газ-вакуум. Исследовано влияние гравитации и начальной скорости частиц газа на формирование конфигурации газового облака в вакууме и его эволюцию. Полученные результаты представляют интерес для решения актуальных астрофизических и космогонических задач.

Благодарность: Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 20-07-00407.

Ключевые слова: газовая динамика, самогравитирующий газ, лагранжевы координаты, система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра, задача Коши, теорема существования и единственности, метод последовательных приближений, вычислительный эксперимент

Библиография:

Чандрасекар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия / пер. с англ.; под ред. В. В. Румянцева. – М. : Мир, 1973. – 288 с.
Ламб Г. Гидродинамика / пер. с англ.; под ред. Н. А. Слезкина. – М.; Л. : ОГИЗ, 1947. – 929 с.
Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. – М. : Наука, 1987. – 432 с.
Седов Л.И. Об интегрировании уравнений одномерного движения газа // Доклады АН СССР. – 1953. – Т. 90, № 5. – С. 735‒739.
Bogoiavlenskii O. I. Dynamics of a gravitating gaseous ellipsoid // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 1976. – Vol. 40, iss. 2. – P. 246–256. – DOI: 10.1016/0021-8928(76)90061-7.
Овсянников Л. В. Общие уравнения и примеры. Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. – Новосибирск : Наука, 1967. – С. 5–75.
Овсянников Л. В. Об одном классе неустановившихся движений несжимаемой жидкости // Труды V сессии Ученого совета по народно-хозяйственному использованию взрыва. – Фрунзе : Илим, 1965. – С. 34‒42.
Лаврентьева О. М. О движении жидкого эллипсоида // Доклады АН СССР. – 1980. – Т. 253, № 4. – С. 828‒831.
Страховская Л. Г. Модель эволюции самогравитирующего газового диска // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. – 2012. – № 80. – С. 1–24.
Parshin D. V., Cherevko A. A. & Chupakhin A. P. Steady vortex flows of a self-gravitating gas // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 2014. – Vol. 55. – P. 327–334. – DOI: 10.1134/S0021894414020151.
Ovsyannikov L. V. Singular vortex // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 1995. – Vol. 36. – P. 360–366. – DOI: 10.1007/BF02369772.
Chuev N. P. On the existence and uniqueness of the solution to the Cauchy problem for a system of integral equations describing the motion of a rarefied mass of a self-gravitating gas // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2020. – Vol. 60, No. 4. – P. 663–672. – DOI: 10.1134/S0965542520040077.
Легкоступов М. С. К вопросу о модели образования планетных систем звезд солнечного типа // Математическое моделирование. – 2020. – Т. 32, № 3. – С. 81–101.
Чуев Н. П. Аналитический метод исследования пространственных задач динамики самогравитирующего газа // Вычислительные технологии. – 1998. – Т. 3, № 1. – С. 79‒89.
Чуев Н. П. Задача Коши для системы интегральных уравнений типа Вольтерра, описывающей движение конечной массы самогравитирующего газа // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. – 2020. – Т. 33. – С. 35–50. – DOI: 10.26516/1997-7670.2020.33.35.
Чуев Н. П. Метод интегральных уравнений Вольтерра в исследовании динамики самогравитирующего газа, ограниченного свободной поверхностью // Вестник УрГУПС. – 2022. – № 2 (54). – С. 4–23.
Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. – М. : Наука, 1971. – 875 с.
Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. – М. : Гостехиздат, 1953. – 415 с.
Сретенский Л. Н. Теория ньютоновского потенциала. – М. ; Л. : ОГИЗ, 1946. – 318 с.
Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. – М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. – 336 с.
Ovsyannikov L. V. A gas pendulum // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 2000. – Vol. 41. – P. 865–869. – DOI: 10.1007/BF02468732.
Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. – 2-e изд., стереот. – М. : Физматлит, 2002. – 160 с.

Библиографическая ссылка на статью

Kazakov A. L., Spevak L. F., Chuev N. P. An Analytical and Numerical Study of Free Boundary Dynamics for An Isolated Mass of a Self-Gravitating Gas // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2022. - Iss. 4. - P. 61-80. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2022.4.061-080. -
URL: http://dream-journal.org/issues/2022-4/2022-4_369.html
(accessed: 22.12.2024).