Электронный научный журнал
 
Diagnostics, Resource and Mechanics 
         of materials and structures
ВыпускиО журналеАвторуРецензентуКонтактыНовостиРегистрация

2021 Выпуск 6

Все выпуски
 
2024 Выпуск 6
(в работе)
 
2024 Выпуск 5
 
2024 Выпуск 4
 
2024 Выпуск 3
 
2024 Выпуск 2
 
2024 Выпуск 1
 
2023 Выпуск 6
 
2023 Выпуск 5
 
2023 Выпуск 4
 
2023 Выпуск 3
 
2023 Выпуск 2
 
2023 Выпуск 1
 
2022 Выпуск 6
 
2022 Выпуск 5
 
2022 Выпуск 4
 
2022 Выпуск 3
 
2022 Выпуск 2
 
2022 Выпуск 1
 
2021 Выпуск 6
 
2021 Выпуск 5
 
2021 Выпуск 4
 
2021 Выпуск 3
 
2021 Выпуск 2
 
2021 Выпуск 1
 
2020 Выпуск 6
 
2020 Выпуск 5
 
2020 Выпуск 4
 
2020 Выпуск 3
 
2020 Выпуск 2
 
2020 Выпуск 1
 
2019 Выпуск 6
 
2019 Выпуск 5
 
2019 Выпуск 4
 
2019 Выпуск 3
 
2019 Выпуск 2
 
2019 Выпуск 1
 
2018 Выпуск 6
 
2018 Выпуск 5
 
2018 Выпуск 4
 
2018 Выпуск 3
 
2018 Выпуск 2
 
2018 Выпуск 1
 
2017 Выпуск 6
 
2017 Выпуск 5
 
2017 Выпуск 4
 
2017 Выпуск 3
 
2017 Выпуск 2
 
2017 Выпуск 1
 
2016 Выпуск 6
 
2016 Выпуск 5
 
2016 Выпуск 4
 
2016 Выпуск 3
 
2016 Выпуск 2
 
2016 Выпуск 1
 
2015 Выпуск 6
 
2015 Выпуск 5
 
2015 Выпуск 4
 
2015 Выпуск 3
 
2015 Выпуск 2
 
2015 Выпуск 1

 

 

 

 

 

A. L. Kazakov, L. F. Spevak

ON THE CONSTRUCTION OF A HEAT WAVE GENERATED BY A BOUNDARY CONDITION ON A MOVING BORDER

DOI: 10.17804/2410-9908.2021.6.054-067

The paper deals with the construction of solutions to a nonlinear heat equation, which have the type of heat waves propagating over a cold (zero) background with a finite velocity. Such solutions are atypical for parabolic equations. They appear due to the degeneration of the parabolic type of equation on a manifold where the desired function becomes zero. Various kinds of boundary conditions provide the existence of solutions with the desired properties. The most complicated of them, specifying nonzero values of the desired function on a moving manifold, is considered in this paper. A new theorem of the existence and uniqueness of the solution to the heat wave initiation problem under the considered boundary condition is proved. A method for constructing an approximate solution based on expansion in radial basis functions and the collocation method is proposed. The solution is constructed in two steps. At the first step, we construct a solution in the domain situated between the specified moving manifold and the zero front, which is determined in the process of solving. A special variable change similar to hodograph transformation is used. At the second step, we complete the solution in the domain situated between the initial and actual position of the moving manifold. Calculations are made showing that the new approach gives good results and more stable convergence as compared with the boundary element method used by the authors earlier.

Acknowledgement: The work was supported by the RFBR, project No. 20-07-00407.

Keywords: nonlinear heat equation, heat wave, power series, boundary element method, radial basis functions

References:

  1. Vazquez J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory, Oxford, Clarendon Press, 2007, 648 р. ISBN-10: 0198569033, ISBN-13: 978-019856903.
  2. Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P. Blow-up in Quasilinear Parabolic Equations, NY, Berlin, Walter de Gruyte, 1995, 534 p. ISBN 3-11-012754-7.
  3. Zeldovich Ya.B., Kompaneets A.S. On the theory of heat propagation with temperature-dependent thermal conductivity. In: Sbornik, posvyashchennyi 70-letiyu akademika A.F. Ioffe [Collection dedicated to the 70th anniversary of Academician A.F. Ioffe]. Moscow, Izd-vo AN SSSR Publ., 1950, pp. 61–71. (In Russian).
  4. Barenblatt G.I., Vishik I.M. On the Final Velocity of Propagation in Problems of Non-stationary Filtration of Liquid and Gas. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1956, vol. 20, no. 3, pp. 411–417. (In Russian).
  5. Oleynik O.A., Kalashnikov A.S., Chzhou Yuy-Lin. The Cauchy Problem and Boundary Value Problems for Equations of the type of Non-stationary Filtration. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya, 1958, vol. 22, no. 5, pp. 667–704. (In Russian).
  6. Sidorov A.F. In: Izbrannye Trudy: Matematika. Mekhanika [Selected Works: Mathematics. Mechanics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001, 576 p. (In Russian). ISBN 5-9221-0103-Х.
  7. Kazakov A.L., Spevak L.F. Boundary Elements Method and Power Series Method for One-dimensional Nonlinear Filtration Problems. Izvestiya IGU, Seriya Matematika, 2012, vol. 5, no. 2, pp. 2–17. (In Russian).
  8. Kazakov A.L., Spevak L.F. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equation with boundary conditions of a special form. Applied Mathematical Modelling, 2013, vol. 37, iss. 10–11, pp. 6918–6928. DOI: 10.1016/j.apm.2013.02.026.
  9. Kazakov A.L., Kuznetsov P.A., Spevak L.F. On a Degenerate Boundary Value Problem for the Porous Medium Equation in Spherical Coordinates. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2014, vol. 20, no. 1, pp. 119–129. (In Russian).
  10. Kazakov A.L., Nefedova O.A., Spevak L.F. Solution of the Problem of Initiating the Heat Wave for a Nonlinear Heat Conduction Equation Using the Boundary Element Method. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2019, vol. 59, No. 6, pp. 1015–1029. DOI: 10.1134/S0965542519060083.
  11. Banerjee P.К., Butterheld R. Boundary element methods in engineering science, US, McGraw-Hill Inc., 1981, 452 р. ISBN-10: 0070841209, ISBN-13: 978-0070841208.
  12. Brebbia C.A., Telles J.F.C., Wrobel L.C. Boundary Element Techniques, Berlin, Neidelberg, New-York, Tokyo, Springer-Verlag, 1984, 466 р. ISBN 978-3-642-48862-7. DOI: 10.1007/978-3-642-48860-3.
  13. Nardini D., Brebbia C.A. A New Approach to Free Vibration Analysis using Boundary Elements. Applied Mathematical Modelling, 1983, vol. 7, No. 3, pp. 157–162. DOI: 10.1016/0307-904X(83)90003-3.
  14. Wrobel L.C., Brebbia C.A., Nardini D. The dual reciprocity boundary element formulation for transient heat conduction. In: Finite elements in water resources VI, Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1986, pp. 801–811.
  15. Tanaka M., Matsumoto T., Yang Q.F. Time-stepping boundary element method applied to 2-D transient heat conduction problems. Appl. Math. Model, 1994, vol. 18, pp. 569–576. DOI: 10.1016/0307-904X(94)90142-2.
  16. Powell M.J.D. The Theory of Radial Basis Function Approximation. In: Light W., ed. Advances in Numerical Analysis, Oxford Science Publications, Oxford, UK, 1992, vol. 2.
  17. Golberg M.A., Chen C.S., Bowman H. Some recent results and proposals for the use of radial basis functions in the BEM. Engineering Analysis with Boundary Elements, 1999, vol. 23, pp. 285–296. DOI: 10.1016/S0955-7997(98)00087-3.
  18. Spevak L.F., Nefedova O.A. Solving a two-dimensional nonlinear heat conduction equation with degeneration by the boundary element method with the application of the dual reciprocity method. AIP Conference Proceedings, 2016, vol. 1785, iss. 1, pp. 040077. – DOI: 10.1063/1.4967134.
  19. Kazakov A.L. On exact solutions to a heat wave propagation boundary-value problem for a nonlinear heat equation. Sibirskie Elektronnye Matematicheskiye Izvestiya, 2019, vol. 16, pp. 1057–1068. (In Russian). Available at: http://semr.math.nsc.ru/v16
  20. Kazakov A.L., Spevak L.F., Spevak E.L. On Numerical Methods for Constructing Benchmark Solutions to a Nonlinear Heat Equation with a Singularity. Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures, 2020, iss. 5, pp. 26–44. DOI: 10.17804/2410-9908.2020.5.026-044. Available at: http://dream-journal.org/issu2020-5/2020-5_306.html (accessed: 14.12.2021).
  21. Kazakov A.L., Spevak L.F., Nefedova O.A. On the Numerical-Analytical Approaches to Solving a Nonlinear Heat Conduction Equation with a Singularity. Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures, 2018, iss. 6, pp. 100–116. DOI: 10.17804/2410-9908.2018.6.100-116. Available at: http://dream-journal.org/issues/2018-6/2018-6_232.html (accessed: 14.12.2021).
  22. Kazakov A.L., Spevak L.F. Approximate and Exact Solutions to the Singular Nonlinear Heat Equation with a Common Type of Nonlinearity. Izvestiya IGU. Seriya Matematika, 2020, vol. 34, pp. 18–34. DOI: 10.26516/1997-7670.2020.34.18. (In Russian).
  23. Bautin S.P., Kazakov A.L. Obobshchennaya zadacha koshi i ee prilozheniya [The Generalized Cauchy problem and its applications]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2006, 397 p. ISBN: 5-02-032540-6. (In Russian).
  24. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. II: Partial Differential Equations, New York, Interscience Publishers, 2008.
  25. Golberg M.A. Numerical evaluation of particular solutions in the BEM–a review. Boundary Element Comm., 1995, vol. 6, pp. 99–106.

А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак

О ПОСТРОЕНИИ ТЕПЛОВОЙ ВОЛНЫ, ПОРОЖДЕННОЙ КРАЕВЫМ РЕЖИМОМ НА ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЕ

Работа посвящена проблеме построения решений нелинейного параболического уравнения теплопроводности, имеющих тип тепловой волны, распространяющейся по абсолютно холодному (нулевому) фону с конечной скорость. Подобные решения являются нетипичными для уравнений параболического типа и появляются вследствие вырождения типа уравнения на многообразии, где искомая функция обращается в нуль. Существуют различные виды краевых условий, которые обеспечивают появление решений с искомыми свойствами. В настоящем исследовании рассматривается наиболее сложное из них, предусматривающее задание ненулевых значений искомой функции на подвижном многообразии. Доказана новая теорема существования и единственности решения задачи об инициировании тепловой волны рассмотренным краевым условием. Предложен приближенный метод построения решений, основанный на разложении по радиальным базисным функциям в сочетании с методом коллокаций. Решение строится в два этапа. На первом строится решение в области между заданным подвижным многообразием и нулевым фронтом, который определяется в процессе решения. При этом используется специальная замена переменных типа преобразования годографа. На втором этапе решение достраивается в области между начальным и актуальным положениями заданного подвижного многообразия. Проведены численные расчеты, которые показали, что новый подход дает хорошие результаты при более устойчивой сходимости по сравнению с методом граничных элементов, применявшимся авторами ранее.

Благодарность: Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 20-07-00407.

Ключевые слова: нелинейное уравнение теплопроводности, тепловая волна, степенной ряд, метод граничных элементов, радиальные базисные функции

Библиография:

  1. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. – Oxford : Clarendon Press, 2007. – 648 р. – ISBN-10: 0198569033, ISBN-13: 978-019856903.
  2. Режимы с обострением в задачах для нелинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. – М. : Наука, 1987. – 476 с.
  3. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // В кн.: Сборник, посвященный 70-летию академика А. Ф. Иоффе. – М. : Изд-во АН СССР, 1950. – С. 61–71.
  4. Баренблатт Г. И., Вишик И. М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // Прикладная математика и механика. – 1956. – Т. 20, вып. 3. – С. 411–417.
  5. Олейник О. А., Калашников А. С., Чжоу Юй-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Известия АН СССР. Серия математическая. – 1958. – Т. 22, вып. 5. – С. 667–704.
  6. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика. – М. : Физматлит, 2001. – 576 c. – ISBN 5-9221-0103-Х.
  7. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерных задачах нелинейной фильтрации // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 2–17.
  8. Kazakov A. L., Spevak L. F. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equation with boundary conditions of a special form // Applied Mathematical Modelling. – 2013. – Vol. 37, iss. 10–11. – P. 6918–6928. – DOI: 10.1016/j.apm.2013.02.026.
  9. Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Спевак Л. Ф. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2014. – Т. 20, № 1. – С. 119–129.
  10. Казаков А. Л., Нефедова О. А., Спевак Л. Ф. Решение задач об инициировании тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности методом граничных элементов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2019. – Т. 59, № 6. – С. 1047–1062. – DOI: 10.1134/S0044466919060085.
  11. Banerjee P. К., Butterheld R. Boundary element methods in engineering science. – US : McGraw-Hill Inc., 1981. – 452 р. – ISBN-10: 0070841209, ISBN-13: 978-0070841208.
  12. Brebbia C. A., Telles J. F. C., Wrobel L. C. Boundary Element Techniques. – Berlin, Nei-delberg, New-York, Tokyo : Springer-Verlag, 1984. – 466 р. – ISBN 978-3-642-48862-7. – DOI: 10.1007/978-3-642-48860-3.
  13. Nardini D., Brebbia C. A. A New Approach to Free Vibration Analysis using Boundary Elements // Applied Mathematical Modelling. – 1983. – Vol. 7, No. 3. – P. 157–162. – DOI: 10.1016/0307-904X(83)90003-3.
  14. Wrobel L. C., Brebbia C. A. Nardini D. The dual reciprocity boundary element formulation for transient heat conduction // Finite elements in water resources VI. – Berlin, Germany : Springer-Verlag, 1986. – P. 801–811.
  15. Tanaka M., Matsumoto T., Yang Q. F. Time-stepping boundary element method applied to 2-D transient heat conduction problems // Appl. Math. Model. – 1994. – Vol. 18. – P. 569–576. – DOI: 10.1016/0307-904X(94)90142-2.
  16. Powell M. J. D. The Theory of Radial Basis Function Approximation // Advances in Numerical Analysis / ed by W. Light. – Oxford, UK : Oxford Science Publications, 1992. – Vol. 2.
  17. Golberg M. A., Chen C. S., Bowman H. Some recent results and proposals for the use of radial basis functions in the BEM // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 1999. – Vol. 23. – P. 285–296. – DOI: 10.1016/S0955-7997(98)00087-3.
  18. Spevak L. F., Nefedova O. A. Solving a two-dimensional nonlinear heat conduction equation with degeneration by the boundary element method with the application of the dual reciprocity method // AIP Conference Proceedings. – 2016. – Vol. 1785, iss. 1. – P. 040077. – DOI: 10.1063/1.4967134.
  19. Казаков А. Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нелинейной теплопроводности // Сибирские электронные математические известия. – 2019. – Т. 16. – С. 1057–1068. – DOI: 10.33048/semi.2019.16.073. – URL: http://semr.math.nsc.ru/v16ru.html (accessed: 14.12.2021).
  20. Kazakov A. L., Spevak L. F., Spevak E. L. On Numerical Methods for Constructing Benchmark Solutions to a Nonlinear Heat Equation with a Singularity // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. – 2020. – Iss. 5. – P. 26-44. – DOI: 10.17804/2410-9908.2020.5.026-044. – URL: http://dream-journal.org/issues/2020-5/2020-5_306.html (accessed: 14.12.2021).
  21. Kazakov A. L., Spevak L. F., Nefedova O. A. On the Numerical-Analytical Approaches to Solving a Nonlinear Heat Conduction Equation with a Singularity // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. – 2018. – Iss. 6. – P. 100–116. – DOI: 10.17804/2410-9908.2018.6.100-116. – URL: http://dream-journal.org/issues/2018-6/2018-6_232.html (accessed: 14.12.2021).
  22. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф. Приближенные и точные решения вырождающегося нелинейного уравнения теплопроводности с произвольной нелинейностью // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. – 2020. – Т. 34. – С. 18–34. – DOI: 10.26516/1997-7670.2020.34.18.
  23. Баутин С. П., Казаков А. Л. Обобщенная задача Коши и ее приложения. – Новосибирск : Наука, 2006. – 397 c. – ISBN: 5-02-032540-6.
  24. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. II: Partial Differential Equations. – New York : Interscience Publishers, Inc., 2008.
  25. Golberg M. A. Numerical evaluation of particular solutions in the BEM–a review // Boundary Element Comm. – 1995. – Vol. 6. – P. 99–106.

PDF      

Библиографическая ссылка на статью

Kazakov A. L., Spevak L. F. On the Construction of a Heat Wave Generated by a Boundary Condition on a Moving Border // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2021. - Iss. 6. - P. 54-67. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2021.6.054-067. -
URL: http://dream-journal.org/issues/2021-6/2021-6_350.html
(accessed: 21.12.2024).

 

импакт-фактор
РИНЦ 0.42

категория К2
в перечне ВАК

МРДМК 2024
ЦКП Пластометрия
НЭБ РИНЦ
Google Scholar


РНБ
Лань

 

Учредитель:  Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт машиноведения имени Э.С. Горкунова Уральского отделения Российской академии наук
Главный редактор:  С.В.Смирнов
При цитировании ссылка на Электронный научно-технический журнал "Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures" обязательна. Воспроизведение материалов в электронных или иных изданиях без письменного разрешения редакции запрещено. Опубликованные в журнале материалы могут использоваться только в некоммерческих целях.
Контакты  
 
Главная E-mail 0+
 

ISSN 2410-9908 Регистрация СМИ в Роскомнадзоре Эл № ФС77-57355 от 24 марта 2014 г. © ИМАШ УрО РАН 2014-2024, www.imach.uran.ru