Studying the Stratification of Hydrodynamic Fields for Laminar Flows of Vertically Swirling Fluid

N. V. Burmasheva and E. Yu. Prosviryakov

doi:10.17804/2410-9908.2020.4.062-078

N. V. Burmasheva and E. Yu. Prosviryakov

STUDYING THE STRATIFICATION OF HYDRODYNAMIC FIELDS FOR LAMINAR FLOWS OF VERTICALLY SWIRLING FLUID

DOI: 10.17804/2410-9908.2020.4.062-078

The article proposes an approach to estimating the number of stratification points in hydrodynamic fields. The article provides a method allowing one to estimate from above the number of zero points of hydrodynamic fields (points and stratification zones). The application of the proposed methodology is illustrated by several examples of the analysis of the exact solution to the problem of describing steady laminar flows of a viscous incompressible fluid in an infinite horizontal layer. In example 1, convection is induced by setting the shear stress field at one of the layer boundaries. The features of the background temperature profile, which is a seventh-degree polynomial, are discussed. It is shown that this component of the temperature field is a nonmonotonic function and that the obtained exact solution for the temperature field can describe the stratification of the considered fluid layer into one, two or three zones relative to the reference value. Example 2 illustrates evaluating the number of the zero points of the velocity field components in a vertically swirling fluid, in which convective flows are initiated by thermocapillary forces at the upper boundary of the layer. The exact solution studied in this example is a sixth-degree polynomial, which can have at most two zeros inside the region under consideration. This means that this exact solution is able to describe the stratification of the fluid layer into three zones, in each of which the test speed takes values of the same sign.

Keywords: laminar flow, vertically swirling fluid, exact solution, thermocapillary convection, tangential stresses, zero field points, field stratification

References:

Nalivkin D.V. Uragani, buri i smerchi [Hurricanes, Storms and Tornadoes]. Leningrad, Nauka, 1969, 487 p. (In Russian).
Monin A.S., Kamenkovich V.M. Okeanologiya. Fizika okeana. T. I. Gidrofizika okeana [Oceanology. Physics of the Ocean. Vol. I: Ocean Hydrophysics]. Moscow, Nauka, 1987, 466 p. (In Russian).
Alekseenko S.V., Kuybin P.A., Okulov V.L. Vvedenie v teoriyu koncentrirovannikh vikhrey [Introduction to Concentrated Vortex Theory]. Novosibirsk, Institut teplofiziki im. S.S. Kutateladze Publ., 2003, 504 p. (In Russian).
Lavrent’ev M.A., Shabat B.V. Problemi gidrodinamiki i ikh matematicheskie modeli [Problems of Hydrodynamics and their Mathematical Models, 2-nd education]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 407 p. (In Russian).
Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. A large-scale layered stationary convection of an incompressible viscous fluid under the action of shear stresses at the upper boundary. Velocity field investigation. Vestn. Sam. gos. tekh. univer. Ser. Fiz.-mat. nauki, 2017, vol. 21, no. 1, pp. 180–196. DOI: 10.14498/vsgtu1527 (In Russian).
Shvarts K.G. Plane-parallel advective flow in a horizontal layer of an incompressible fluid with an internal linear heat source. Fluid Dynamics, 2018, vol. 53, no. 1, pp. S24–S28. DOI: 10.1134/S0015462818040237.
Burmasheva N.B., Prosviryakov E.Yu. Exact solution for the layered convection of a viscous incompressible fluid at specified temperature gradients and tangential forces on the free boundary. AIP Conference Proceedings, 2017, vol. 1915, iss. 1. DOI: 10.1063/1.5017353.
Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. Convective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Velocity field investigation. Vestn. Sam. gos. tekh. univer. Ser. Fiz.-mat. nauki, 2019, vol. 23, no. 2, pp. 341–360. DOI: 10.14498/vsgtu1670.
Burmasheva N.B., Prosviryakov E.Yu. Investigation of a velocity field for the Marangoni shear convection of a vertically swirling viscous incompressible fluid. AIP Conference Proceedings, 2018, vol. 2053, iss. 1. DOI: 10.1063/1.5084449.
Bekezhanova V.B., Rodionova A.V. Longwave stability of two-layer fluid flow in the inclined plane. Fluid Dynamics, 2015, vol. 50, no. 6, pp. 723–736. DOI: 10.1134/S0015462815060010.
Andreyev V.K., Bekezhanova V.B. The free-parameter solution of the convection equations in a vertical cylinder with a volume heat source. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2013, vol. 77, no. 6, pp. 595–602. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2014.03.004.
Burmasheva N.B., Larina E.A., Prosviryakov E.Yu. Unidirectional convective flows of a viscous incompressible fluid with slippage in a closed layer. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2176, iss. 1. DOI: 10.1063/1. 5135147.
Burmasheva N.B., Prosviryakov E.Yu. Temperature field investigation in layered flows of a vertically swirling viscous incompressible fluid under two thermocapillar forces at a free boundary. DReaM, 2019, iss. 1, pp. 6–42. DOI: 10.17804/2410-9908.2019.1.006-042.
Burmasheva N.V., Prosviryakov E. Yu. Thermocapillary convection of a vertical swirling liquid. Theor. Found. Chem. Eng., 2020, vol. 54, no. 1, pp. 230–239. DOI: 10.1134/S0040579519060034.
Bekezhanova V.B. Convective instability of Marangoni-Poiseuille flow under a longitudinal temperature gradient. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2011, vol. 52, no. 1, pp. 74–81. DOI: 10.1134/S0021894411010111.
Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. Exact solution of Navier—Stokes equations describing spatially inhomogeneous flows of a rotating fluid. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 2. pp. 79–87. (In Russian).
Birikh R.V., Pukhnachev V.V., Frolovskaya O.A. Convective flow in a horizontal channel with non-newtonian surface rheology under time-dependent longitudinal temperature gradient. Fluid Dynamics, 2015, vol. 50, no. 1, pp. 173–179. DOI: 10.1134/S0015462815010172.
Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. A class of exact solutions for two–dimensional equations of geophysical hydrodynamics with two Coriolis parameters. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2020, vol. 32, pp. 33–48. DOI: 10.26516/1997-7670.2020.32.33. (In Russian).
Goncharova O.N. Two-layer fluid flows with evaporation at an interface in the presence of an anomalous thermocapillary effect. Izvestiya of Altai State University, 2015, no. 1–2 (85), pp. 101–105. DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-18. (In Russian).
Aleksandrov A.D., Kolmogorov A.N., Lavrent’ev M.A. Matematika, eyo soderganie, metody i znachenie. T. 1 [Mathematics, its contents, methods and meaning. Vol. 1]. Moscow, Izdatelstvo Akademii nauk SSSR Publ., 1956, 536 p. (In Russian).
Shafarevich I.R. O reshenii uravneniy vishikh poryadkov (metod Shturma) [On solving equations of higher degrees (Sturm method)]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1954, 24 p. (In Russian).
Bashmakova I.G. On the proof of fundamental theorem of algebra. In: Istoriko-matematicheskie issledovaniya [Historical and Mathematical Research. Issue 10]. Moscow, GITL Publ., 1957, pp. 257–305. (In Russian).
Demidovich B.P. Lekcii po matematicheskoy teorii ustoychivosti: uchebnoe posobie [Lectures on Mathematical Theory of Stability: Educational book]. Sankt-Peterburg, Lan’ Publ., 2008, 480 p. (In Russian).
Petrov A.G. Exact solution of the Navier–Stokes equations in a fluid layer between the moving parallel plates. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2012, vol. 53, no. 5, pp. 642-646. DOI: 10.1134/S0021894412050021.
Shmiglevskiy Yu.D. Analiticheskie issledovaniya dinamiki zhidkosti i gaza [Analytical Studies of Fluid and Gas Dynamics]. Moscow, Editorial URSS Publ., 1999, 232 p. (In Russian).
Kochin N.E., Kibel’ I.A., Roze N.B. Teoreticheskaya gidrodinamika. Chast’ 2. [Theoretical Hydrodynamics. Part 2]. Moscow: FIZMATLIT Publ., 1963, 728 p. (In Russian).
Loytsyanskiy L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid and Gas Mechanics]. M. : DROFA Publ., 2003, 840 p. (In Russian).
Shvarts K.G. Advective Flow of a rotating fluid layer in a vibrational field. Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 15, no. 3, pp. 261–270. DOI: 10.20537/nd190305.
Aristov S.N., Shvarts K.G. Advective flow in a rotating liquid film. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2016, vol. 57, no. 1, pp. 188–194. DOI: 10.1134/S0021894416010211.
Gershuni G.Z., Zhukhovitskii E.M. Convective Stability of Incompressible Fluids [Original Russian text published in Gershuni G.Z., Zhukhovitskii E.M. Konvektivnaya ustoichivost’ neszhimaemoy zhidkosti. Moscow, Nauka, 1972, 392 p.], Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, Keter Publishing House, 1976, 330 p.
Landau L.D., Lifshitz E.M. Fluid Mechanics (Volume 6 of A Course of Theoretical Physics) [Original Russian text published in Landau L.D., Lifshitz E.M. Teoreticheskaya fizika. Tom 6. Gidrodinamika. Moscow, FIZMATLIT, 1986, 736 p.], Oxford, Pergamon Press, 1987, 536 p.
Boussinesq J. Theorie analitique de la chaleur. Vol. 2, Paris, GauthierVillars, 1903, 625 p.
Oberbeck A. Uber die warmeleitung der flussigkeiten bei der berucksichtigung der stromungen infolge von temperaturdifferenzen. Annal. Phys. Chem., 1879, bd. 7, № 6, s. 271–292.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. Nonuniform convective Couette flow. Fluid Dynamics, 2016, vol. 51, no. 5, p. 581–587. DOI: 10.1134/S001546281605001X.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Y. On laminar flows of planar free convection. Rus. J. Nonlin. Dyn., 2013, vol. 9, no. 4, pp. 651–657. DOI: 10.20537/nd1304004. (In Russian).
Zaytsev M.L., Akkerman V.B. Hypothesis on reduction of overdetermined systems of differential equations and its application to equations of hydrodynamics. Vestn. Voronezh. gos. univer. Ser.: Fizika. Matematika, 2015, no. 2, pp. 5–27. (In Russian).
Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 742 p. (In Russian).
Pirov R. On compatibility conditions and manilolds of solutions to one class of overdetermined systems of second order partial differential equations. Ufa Math. Journal, 2016, vol. 8, no. 2, pp. 58–64. DOI: 10.13108/2015-0-2-58.
Targ S.M. Coriolis force. In: Fizicheskaya entsiklopediya [Physical Encyclopedia. Vol. 2]. Moscow, Sovetskaya entsiklopediya Publ., 1990, 704 p. (In Russian).
Coriolis G. Sur les equations du mouvement relative des systemes de corps. Journ. Ecole polytechn., 1835, vol. 15, no. 24, pp. 142–154.
Lopez-Mariscal M. Further Coriolis correlation considerations. Physics Today, 2012, vol. 65, iss. 11, pp. 8–9. DOI: 10.1063/PT.3.1764.
Graney Ch.M. Coriolis effect, two centuries before Coriolis. Physics Today, 2011, vol. 64, iss. 8, pp. 8–9. DOI: 10.1063/PT.3.1195.
Tartishnikov E.E. Matrichniy analiz i lineynaya algebra [Matrix Analysis and Linear Algebra]. Moscow, MGU Publ., 2005, 372 p. (In Russian).

Н. В. Бурмашева, Е. Ю. Просвиряков

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРАТИФИКАЦИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ДЛЯ СЛОИСТЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЕРТИКАЛЬНО ЗАВИХРЕННОЙ ЖИДКОСТИ

В статье предложен подход к оценке числа точек стратификации гидродинамических полей. В статье приведен метод, с помощью которого можно оценить сверху число нулевых точек гидродинамических полей (точек и зон стратификации). Применение предлагаемой методики проиллюстрировано на нескольких примерах анализа точного решения задачи описания установившихся слоистых течений вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном горизонтальном слое. В первом из них конвекция индуцируется заданием поля касательных напряжений на одной из границ слоя. Обсуждаются особенности профиля фоновой температуры, являющейся многочленом седьмой степени. Показано, что данная компонента поля температуры является немонотонной функцией и полученное точное решение для поля температуры может описывать стратификацию рассматриваемого слоя жидкости на одну, две или три зоны относительно отсчетного значения. Второй пример посвящен оценке числа нулевых точек компонент поля скорости вертикально завихренной жидкости, конвективные течения в которой инициируются термокапиллярными силами на верхней границе слоя. Исследуемое в этом примере точное решение есть полином шестой степени, который может иметь не более двух нулей внутри рассматриваемой области. Это означает, что данное точное решение способно описывать расслоение слоя жидкости на три зоны, в каждой из которых исследуемая скорость принимает значения одного знака.

Ключевые слова: слоистое течение, вертикально завихренная жидкость, точное решение, термокапиллярная конвекция, касательные напряжения, нулевые точки поля, расслоение поля

Библиография:

Литература

Наливкин Д. В. Ураганы, бури и смерчи. – Л. : Наука, 1969. – 487 с.
Океанология. Физика океана. Т. I. Гидрофизика океана / под ред. А. С. Монина и В. М. Каменковича. – М. : Наука, 1978. – 466 с.
Алексеенко С. В., Куйбин П. А., Окулов В. Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. – Новосибирск : Институт теплофизики им. С. С. Кутателадзе, 2003. – 504 с.
Лаврентьев M. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. – 2-е изд. – M. : Наука, 1973. – 417 с.
Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование поля скоростей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2017. – Т. 21, № 1. – С. 180–196. – DOI: 10.14498/vsgtu1527.
Шварц К. Г. Плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с внутренним линейным источником тепла // Прикладная математика и механика. – 2018. – Т. 82, № 1. – С. 25–30.
Burmasheva N. B., Prosviryakov E. Yu. Exact solution for the layered convection of a viscous incompressible fluid at specified temperature gradients and tangential forces on the free boundary // AIP Conference Proceedings. – 2017. – Vol. 1915, iss. 1. – DOI: 10.1063/1.5017353.
Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Convective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Velocity field investigation // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2019. – Т. 23, № 2. – С. 341–360. – DOI: 10.14498/vsgtu1670.
Burmasheva N. B., Prosviryakov E. Yu. Investigation of a velocity field for the Marangoni shear convection of a vertically swirling viscous incompressible fluid // AIP Conference Proceedings. – 2018. – Vol. 2053, iss. 1. – DOI: 10.1063/1.5084449.
Бекежанова В. Б., Родионова А. В. О длинноволновой устойчивости двухслойного течения жидкости по наклонной плоскости // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. – 2015. – № 6. – С. 3–19.
Андреев В. К., Бекежанова В. Б. О решении со свободным параметром уравнений конвекции в вертикальном цилиндре при объемном прогреве // Прикладная математика и механика. – 2013. – Т. 77, № 6. – С. 832–841.
Burmasheva N. B., Larina E. A., Prosviryakov E. Yu. Unidirectional convective flows of a viscous incompressible fluid with slippage in a closed layer // AIP Conference Proceedings. – 2019. – Vol. 2176, iss. 1. – DOI: 10.1063/1. 5135147.
Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Исследование температурного поля в слоистых течениях вертикально завихренной вязкой несжимаемой жидкости при задании двух термокапиллярных сил на свободной границе // DReaM. – 2019. – № 1. – С. 6–42. – DOI: 10.17804/2410-9908.2019.1.006-042.
Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Термокапиллярная конвекция вертикально завихренной жидкости // Теоретические основы химической технологии. – 2020. – Т. 54, № 1. – С. 114–124. – DOI: 10.31857/S0040357119060034.
Бекежанова В. Б. Конвективная неустойчивость течения Марангони - Пуазейля при наличии продольного градиента температуры // Прикладная механика и техническая физика. – 2011. – Т. 52, № 1 (305). – С. 92–100.
Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Точное решение уравнений Навье–Стокса, описывающее пространственно неоднородные течения вращающейся жидкости // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2020. – Т. 26, вып. 2. – C. 79–87.
Бирих Р. В., Пухначев В. В., Фроловская О. А. Конвективное течение в горизонтальном канале с неньютоновской реологией поверхности при нестационарном продольном градиенте температуры // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. – 2015. – № 1. – С. 192–198.
Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Класс точных решений для двумерных уравнений геофизической гидродинамики с двумя параметрами Кориолиса // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. – 2020. – Т. 32. – С. 33–48. – DOI: 10.26516/1997-7670.2020.32.33.
Гончарова О. Н. Двухслойные течения жидкостей с испарением на границе раздела при наличии аномального термокапиллярного эффекта // Известия Алтайского государственного университета. – 2015. – № 1–2 (85). – С. 101–105. – DOI 10.14258/izvasu(2015)1.2-18.
Александров А. Д., Колмогоров А. Н., Лаврентьев М. А. Математика, ее содержание, методы и значение. Т. 1. – М. : Издательство Академии наук СССР, 1956. – 536 с.
Шафаревич И. Р. О решении уравнений высших степеней (метод Штурма). – М. : Гостехиздат, 1954. – 24 c.
Башмакова И. Г. О доказательстве основной теоремы алгебры // Историко-математические исследования / под ред. Г. Ф. Рыбкина, А. П. Юшкевича. – М. : ГИТТЛ, 1957. – 820 с. – Вып. 10.
Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости : учебное пособие. – Санкт-Петербург : Лань, 2008. – 480 с.
Петров А. Г. Точное решение уравнений Навье–Стокса в слое жидкости между двумя движущимися параллельно пластинами // Прикладная механика и техническая физика. – 2012. – Т. 53, № 5. – С. 13–18.
Шмыглевский Ю. Д. Аналитические исследования динамики жидкости и газа. – М. : Эдиториал УРСС, 1999. – 232 с.
Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидродинамика. Ч. 2. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 1963. – 728 с.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. – M. : ДРОФА, 2003. – 840 с.
Shvarts K. G. Advective Flow of a rotating fluid layer in a vibrational field // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. – 2019. – Vol. 15, no. 3. – P. 261–270. – DOI: 10.20537/nd190305.
Аристов С. Н., Шварц К. Г. Адвективное течение во вращающейся жидкой пленке // Прикладная механика и техническая физика. – 2016. – Т. 57, № 1 (335). – С. 216–223. – DOI: 10.15372/PMTF20160121.
Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. – М. : Наука, 1972. – 392 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 736 с.
Boussinesq J. Theorie analitique de la chaleur. Vol. 2. – Paris : GauthierVillars, 1903. – 625 p.
Oberbeck A. Uber die warmeleitung der flussigkeiten bei der berucksichtigung der stromungen infolge von temperaturdifferenzen // Ann. Phys. Chem. – 1879. – Vol. 7. – P. 271–292.
Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. Nonuniform convective Couette flow // Fluid Dynamics. – 2016. – Vol. 51, no. 5. – P. 581–587. – DOI: 10.1134/S001546281605001X.
Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. О слоистых течениях плоской свободной конвекции // Нелинейная динамика. – 2013. – Т. 9, № 4. – С. 651–657. – DOI: 10.20537/nd1304004.
Зайцев М. Л., Аккерман В. Б. Гипотеза об упрощении переопределенных систем дифференциальных уравнений и ее применение к уравнениям гидродинамики // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. – 2015. – № 2. – C. 5–27.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – M. : Наука, 1966. – 742 с.
Пиров Р. Об условиях совместности и многообразиях решений некоторых классов переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Уфимский математический журнал. – 2016. – Т. 8, № 2. – С. 59–65.
Тарг С. М. Кориолиса сила // Физическая энциклопедия / гл. ред. А. М. Прохоров. – М. : Советская энциклопедия, 1990. – 704 с. – Т. 2.
Coriolis G. Sur les equations du mouvement relative des systemes de corps // J. de 1’Ecole Polytechnique. – 1835. – Vol. 15, no. 24. – P. 142–154.
Manuel Lopez-Mariscal. Further Coriolis correlation considerations // Physics Today. – 2012. – Vol. 65, iss. 11. – P. 8–9. – DOI: 10.1063/PT.3.1764.
Graney Ch. M. Coriolis effect, two centuries before Coriolis // Physics Today. – 2011. – Vol. 64, iss. 8. – P. 8–9. – DOI: 10.1063/PT.3.1195.
Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. – М. : МГУ, 2005. – 372 с.

Библиографическая ссылка на статью

Prosviryakov N. V. Burmasheva and E. Yu. Studying the Stratification of Hydrodynamic Fields for Laminar Flows of Vertically Swirling Fluid // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2020. - Iss. 4. - P. 62-78. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2020.4.062-078. -
URL: http://dream-journal.org/issues/2020-4/2020-4_297.html
(accessed: 30.12.2024).