The Effect of Tangential Boundary Stresses on the Convective Unidirectional Flow of a Viscous Fluid Layer under the Lower Boundary Heating Condition

V. V. Privalova; E. Yu. Prosviryakov

doi:10.17804/2410-9908.2019.4.044-055

V. V. Privalova, E. Yu. Prosviryakov

THE EFFECT OF TANGENTIAL BOUNDARY STRESSES ON THE CONVECTIVE UNIDIRECTIONAL FLOW OF A VISCOUS FLUID LAYER UNDER THE LOWER BOUNDARY HEATING CONDITION

DOI: 10.17804/2410-9908.2019.4.044-055

An exact solution describing a convective unidirectional flow of a viscous incompressible fluid is obtained. The motion takes place in an infinite layer of some finite thickness. The fields of velocity, temperature, and pressure are time-independent. The resulting exact solution is a polynomial of various orders along the vertical (transverse) coordinate. A boundary value problem is formulated for the exact solution constructed. On the absolutely solid lower boundary of the fluid layer, the Navier slip condition and heating are specified. On the upper (free) surface, nonzero tangential stresses and pressure along the longitudinal coordinate are set. The temperature at the upper boundary is assumed to be zero. The obtained particular exact solution of the boundary value problem for the velocity function is analyzed. It is shown that, in the fluid layer under consideration, the velocity can have up to two stagnation points, which indicates the occurrence of countercurrent zones. The nonzero component of the vorticity vector and the tangential stress are analyzed. It is shown that the vorticity vector can change its sign in the fluid layer up to two times and that the tangential stress can change from tensile to compressive as many times.

Keywords: exact solution, counterflow, stagnation point, Navier slip condition, vorticity vector

References:

Roache P. J. Computational fluid dynamics, Hermosa Publs, Albuquerque, 1976, 446 p.
Fletcher C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1988. DOI: 10.1007/978-3-642-97035-1.
Samarskii A.A. The Theory of Difference Schemes, Marcel Dekker Inc., New York, 2001, 786 p. DOI: 10.1201/9780203908518.
Aristov S.N., Knyazev D.V., Polyanin A.D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables. Theor. Found. Chem. Eng., 2009, vol. 43, no. 5, pp. 642‒662. DOI: 10.1134/S0040579509050066.
Lin C.C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics. Arch. Rational Mech. Anal., 1957, vol. 1, pp. 391‒395. DOI: 10.1007/BF00298016.
Aristov S.N., Shvarts K.G. Vikhrevye techeniya advektivnoy prirody vo vrashchayushchemsya sloe zhidkosti [Advective Eddy Flows in a Rotating Liquid Layer]. Perm, Permskiy Un-t Publ., 2006, 155 p. (In Russian).
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. On laminar flows of planar free convection. Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2013, vol. 9, no. 4, pp. 651‒657.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. A new class of exact solutions for three-dimensional thermal diffusion equations. Theor. Found. Chem. Eng., 2016, vol. 50, no. 3, pp. 286‒293. DOI: 10.1134/S0040579516030027.
Poiseuille J. Recherches expérimenteles sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Acadmemie des Sciences, 1840, vol. 11, pp. 961 ‒ 967. pp. 1041 ‒ 1048.
Poiseuille J. Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres (suite). Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Acadmemie des Sciences, 1841, vol. 12, pp. 112 ‒ 115.
Aristov S.N., Knyazev D.V. New exact solution of the problem of rotationally symmetric Couette-Poiseuille flow. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2007, vol. 48, no. 5, pp. 680‒685. DOI: 10.1007/s10808-007-0087-7.
Regirer S. A. On the movement of fluid in a tube with a deforming wall. Izv. AN SSSR. Mechanika zhidkosti i gaza, 1968, no. 4, pp. 202–204.
Regirer, S.A. Quasi-one-dimensional theory of peristaltic flows. Fluid Dyn., 1984, vol. 19, no. 5, pp. 747–754. DOI: 10.1007/BF01093542.
Takagi D., Balmforth N. J. Peristaltic pumping of rigid objects in an elastic tube. J. Fluid Mech., 2011, vol. 672, pp. 219–244. DOI: 10.1017/S0022112010005926.
Yin F. C. P., Fung Y. C. Peristaltic waves in circular cylindrical tubes. Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1969, vol. 36, pp. 579–587.
Pedley T. The Fluid Mechanics of Large Blood Vessels (Cambridge Monographs on Mechanics), Cambridge University Press, Cambridge, 1980. DOI: 10.1017/CBO9780511896996.
Medvedev A.E. Three-dimensional motion of a viscous incompressible fluid in a narrow tube. J. Appl. Mech. Tech. Phys.,. 2009, vol. 50, no. 4, pp. 566–569. DOI: 10.1007/s10808-009-0076-0.
Medvedev A.E. Unsteady motion of a viscous incompressible fluid in a tube with a deformable wall. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2013, vol. 54, no. 4, pp. 552–560. DOI: 10.1134/S0021894413040056.
Tverier V.M., Gladysheva O.S. A biomechanical model of the mammary gland. Master's Journal, 2013, no. 2, pp. 240–252. (In Russian).
Gavrilenko S.L., Vasin R.A., and Shilko S.V. A method for determining flow and rheological constants of viscoplastic biomaterials. Part 1. Russian Journal of Biomechanics, 2002, vol. 6, no. 3, pp. 92–99. (In Russian).
Shil’ko, S. V., Gavrilenko, S. L., Khizhenok, V. F., Stakan, I. N., and Salivonchik, S.P., A method for defining flow and rheological constants of viscoplastic biomaterials. Part 2. Russian Journal of Biomechanics, 2003, vol. 7, no. 2, pp. 79–84. (In Russian).
Goldstein S. Modern Developments in Fluid Mechanics, Oxford Univ. Press, Oxford, 1938.
Neto C., Evans D., Bonaccurso E. Boundary slip in Newtonian liquids: a review of experimental studies. Reports on Progress in Physics, 2005, vol. 39, pp. 2859‒2897. DOI: 10.1088/0034-4885/68/12/R05
Yankov V.I., Boyarchenko V.I., Pervadchuk V.P., Glot I.O., Shakirov N.V. Pererabotka voloknoobrazuyushchikh polimerov. Osnovy reologii polimerov i techeniye polimerov v kanalakh [Processing of fiber-forming polymers. Bases of polymer rheology and polymer flow in channels]. Moscow-Izhevsk, RKhD Publ., 2008, 264 p. (In Russian).
Vinogradova O. I., Belyaev A. V. Wetting, roughness and flow boundary conditions. J. Phys. Condens. Matter, 2011, vol. 23, pp. 184104 (1–15).
Belyaev A. V., Vinogradova O. I. Effective slip in pressure-driven flow past super-hydrophobic stripes. J. Fluid Mech., 2010, vol. 652, pp. 489–499. DOI: 10.1017/S0022112010000741.
Borzenko E.I., Diakova O.A., Shrager G.R. Studying the slip phenomenon for a viscous fluid flow in a curved channel. Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., 2014, no. 2 (28), pp. 35‒44. (In Russian).
Itoh S., Tanaka N., Tani A. The initial value problem for the Navier-Stokes equations with general slip boundary conditions in Holder spaces. J. Math, Fluid Mech., 2003, vol. 5, pp. 275‒301. DOI: 10.1007/s00021-003-0074-6.
Beirao da Veiga Н. Regularity for Stokes and generalized Stokes systems under nonhomogeneous slip-type boundary conditions. Advances in Differential Equations, 2004, vol. 9, nos. 9‒10, pp. 1079‒1114.
H. Fugita. Non-stationary Stokes flows under leak boundary conditions of friction type. J. Comput. Math., 2001, vol. 19, no. 1, pp. 1‒ 8.
Gershuni G. Z., Zhukhovitskii E. M. Convective Stability of Incompressible Fluids. Israel Program for Scientific Translations. Jerusalem: Keter Publishing House, 1976. 330 pp.
Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. A large-scale layered stationary convection of an incompressible viscous fluid under the action of shear stresses at the upper boundary. Velocity field investigation. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2017, vol. 21, no. 1, pp. 180–196. DOI: 10.14498/vsgtu1527. (In Russian).
Privalova V.V., Prosviryakov E.Yu., Couette–Hiemenz Exact Solutions for the Steady Creeping Convective Flow of a Viscous Incompressible Fluid, with Allowance Made for Heat Recovery. J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci., 2018, vol. 22, no. 3, pp. 1–17. DOI: 10.14498/vsgtu1638
Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu. Exact solutions for the convective creep Couette-Hiemenz flow with the linear temperature distribution on the upper border. Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures, 2018, iss. 2, pp. 92–109. DOI: 10.17804/2410-9908.2018.2.092-109.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. Unsteady layered vortical fluid flows. Fluid Dynamics, 2016, vol. 51, no. 2, pp. 148–154. DOI: 10.1134/S0040579516030027.
Navier С.L.M.H. M'emoire sur les Lois du Mouvement des Fluides. M'em. Acad. Sci. Inst. de France, 1822, vol. 2, no. 6, pp. 389–440.
Navier C.L.M.H. Sur les lois du mouvement des fluids. M'em. Acad. R. Sci. Inst., 1827, fr. 6, pp. 389–440.

В. В. Привалова, Е. Ю. Просвиряков

ВЛИЯНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА КОНВЕКТИВНОЕ ОДНОНАПРАВЛЕННОЕ ТЕЧЕНИЕ СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ УСЛОВИИ НАГРЕВА НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ

Получено точное решение, описывающее конвективное однонаправленное течение вязкой несжимаемой жидкости. Движение происходит в бесконечном слое некоторой конечной толщины. Поля скорости, температуры и давления не зависят от времени. Полученное точное решение представляет собой полиномы различных порядков по вертикальной (поперечной) координате. Для построенного точного решения сформулирована краевая задача. На нижней, абсолютно твердой границе слоя жидкости задается условие проскальзывания Навье и нагрев. На верхней (свободной) поверхности задаются ненулевые касательные напряжения и переменное по продольной координате давление. Температура на верхней границе полагается равной нулю. Проанализировано полученное частное точное решение краевой задачи для функции скорости. В рассматриваемом слое жидкости скорость может иметь до двух застойных точек, что говорит о возникновении зон противотечений. Проанализированы ненулевая компонента вектора завихренности и касательное напряжение. Показано, что вектор завихренности может менять свой знак в слое жидкости до двух раз, а касательное напряжение столько же раз может меняться с растягивающего на сжимающее.

Ключевые слова: точное решение, противотечение, застойная точка, условие проскальзывания Навье, вектор завихренности

Библиография:

Роуч П. Вычислительная гидродинамика. ‒ М. : Мир, 1980. ‒ 616 с.
Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : в двух томах / пер. с англ. ‒ М. : Мир, 1991.
Самарский А. А. Теория разностных схем. – М. : Наука, 1977. – 656 с.
Aristov S. N., Knyazev D. V., Polyanin A. D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables // Theor. Found. Chem. Eng. – 2009. – Vol. 43, no. 5. – P. 642‒662. – DOI: 10.1134/S0040579509050066.
Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics// Arch. Rational Mech. Anal. ‒ 1958. ‒ Vol. 1. ‒ P. 391‒395. – DOI: 10.1007/BF00298016.
Аристов С. Н., Шварц К. Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. ‒ Пермь : Пермский ун-т, 2006. ‒ 155 с.
Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. On laminar flows of planar free convection // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. – 2013. – Vol. 9, no. 4. – P. 651‒657. – DOI: 10.20537/nd1304004.
Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. A new class of exact solutions for three-dimensional thermal diffusion equations // Theor. Found. Chem. Eng. – 2016. – Vol. 50, no. 3. – P. 286‒293. – DOI: 10.1134/S0040579516030027.
Poiseuille J. Recherches expérimenteles sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Acadmemie des Sciences. ‒ 1840. ‒ Vol. 11. ‒ P. 961‒967. – P. 1041‒1048.
Poiseuille J. Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres (suite) // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Acadmemie des Sciences. ‒ 1841. ‒ Vol. 12. ‒ P. 112‒115.
Aristov S. N., Knyazev D. V. New exact solution of the problem of rotationally symmetric Couette-Poiseuille flow // J. Appl. Mech. Tech. Phys. – 2007. – Vol. 48, no. 5. – P. 680‒685. – DOI: 10.1007/s10808-007-0087-7.
Регирер С. А. О движении жидкости в трубке с деформирующейся стенкой // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. ‒ 1968. ‒ № 4. ‒ С. 202‒204.
Регирер С. А. Квазиодномерная теория перистальтических течений // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. ‒ 1984. ‒ № 5. ‒ С. 89‒97.
Takagi D., Balmforth N. J. Peristaltic pumping of rigid objects in an elastic tube // J. Fluid Mech. ‒ 2011. ‒ Vol. 672. ‒ P. 219–244. – DOI: 10.1017/S0022112010005926.
Yin F. C. P., Fung Y. C. Peristaltic waves in circular cylindrical tubes // Trans. ASME. J. Appl. Mech. ‒ 1969. ‒ Vol. 36. ‒ P. 579–587.
Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. ‒ М. : Мир, 1983. ‒ 400 с.
Медведев А. Е. Трехмерное движение вязкой несжимаемой жидкости в узкой трубке // Прикладная механика и техническая физика. ‒ 2009. ‒ Т. 50, № 4 (296). ‒ С. 28‒32.
Медведев А. Е. Нестационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в трубке с деформирующейся стенкой // Прикладная механика и техническая физика. ‒ 2013. ‒ Т. 54, № 4 (320). ‒ С. 45‒54.
Тверье В. М., Гладышева О. С. Биомеханическая модель молочной железы // Master's Journal. ‒ 2013. ‒ № 2. ‒ С. 240‒252.
Гавриленко С. Л., Васин Р. А., Шилько С. В. Метод описания течения и определения реологических констант вязкопластических биоматериалов. Ч. 1 // Российский журнал биомеханики. ‒ 2002. ‒ Т. 6, № 3. ‒ С. 92‒99.
Метод описания течения и определения реологических констант вязкопластических биоматериалов. Ч. 2 / С. В. Шилько, С. Л. Гавриленко, В. Ф. Хиженок, И. Н. Стакан, С. П. Саливончик // Российский журнал биомеханики. ‒ 2003. ‒ Т. 7, № 2. ‒ С. 79‒84.
Goldstein S. Modern Developments in Fluid Mechanics. ‒ Oxford : Oxford Univ. Press, 1938.
Neto C., Evans D., Bonaccurso E. Boundary slip in Newtonian liquids: a review of experimental studies // Reports on Progress in Physics. ‒ 2005. ‒ Vol. 39. ‒ P. 2859‒2897. – DOI: 10.1088/0034-4885/68/12/R05.
Переработка волокнообразующих полимеров. Основы реологии полимеров и течение полимеров в каналах / В. И. Янков, В. И. Боярченко, В. П. Перевадчук, И. О. Глот, Н. В. Шакиров. ‒ М.–Ижевск : Изд-во «РХД», 2008. ‒ 264 с.
Vinogradova O. I., Belyaev A. V. Wetting, roughness and flow boundary conditions // J. Phys.: Condens. Matter. ‒ 2011. ‒ Vol. 23. ‒ P. 184104 (1–15).
Belyaev A. V., Vinogradova O. I. Effective slip in pressure-driven flow past super-hydrophobic stripes // J. Fluid Mech. ‒ 2010. ‒ Vol. 652. ‒ P. 489–499. – DOI: 10.1017/S0022112010000741.
Борзенко Е. И., Дьякова О. А., Шрагер Г. Р. Исследование явления проскальзывания в случае течения вязкой жидкости в изогнутом канале // Вестник ТГУ. Механика. ‒ 2014. ‒ № 2 (28). ‒ С. 35‒44.
Itoh S., Tanaka N., Tani A. The initial value problem for the Navier-Stokes equations with general slip boundary conditions in Holder spaces // J. Math, Fluid, Mech. ‒ 2003. ‒ Vol. 5. ‒ P. 275‒301. – DOI: 10.1007/s00021-003-0074-6.
Beirao da Veiga Н. Regularity for Stokes and generalized Stokes systems under nonhomogeneous slip-type boundary conditions // Advances in Differential Equations. ‒ 2004. ‒ Vol. 9, nos. 9‒10. ‒ P. 1079‒1114.
Fugita H. Non-stationary Stokes flows under leak boundary conditions of friction type // J. Comput. Math. ‒ 2001. ‒ Vol. 19, № 1. ‒ P. 1‒ 8.
Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. ‒ Москва : Наука, 1972. ‒ 392 с.
Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Крупномасштабная слоистая стационарная кон-векция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование поля скоростей // Вестн. Самарск. гос. техн. унив. Сер. физ.-мат. науки. – 2017. – Т. 21, № 1. – C. 180–196. – DOI: 10.14498/vsgtu1527.
Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu. Couette–Hiemenz Exact Solutions for the Steady Creeping Convective Flow of a Viscous Incompressible Fluid, with Allowance Made for Heat Recovery // J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci. – 2018. – Vol. 22, no. 3. – P. 1–17. – DOI: 10.14498/vsgtu1638.
Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu. Exact solutions for the convective creep Couette-Hiemenz flow with the linear temperature distribution on the upper border // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures – 2018. – Iss. 2. – P. 92–109. – DOI: 10.17804/2410-9908.2018.2.092-109.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. Unsteady layered vortical fluid flows // Fluid Dynamics. – 2016. – Vol. 51, no. 2. – P. 148–154. – DOI: 10.1134/S0040579516030027.
Navier С. L. M. H. M'emoire sur les Lois du Mouvement des Fluides // M'em. Acad. Sci. Inst. de France. ‒ 1822. ‒ Vol. 2, no. 6. ‒ P. 389–440.
Navier C. L. M. H. Sur les lois du mouvement des fluids // M'em. Acad. R. Sci. inst. ‒ 1827. ‒ Fr. 6. ‒ P. 389–440.

Библиографическая ссылка на статью

Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu. The Effect of Tangential Boundary Stresses on the Convective Unidirectional Flow of a Viscous Fluid Layer under the Lower Boundary Heating Condition // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2019. - Iss. 4. - P. 44-55. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2019.4.044-055. -
URL: http://dream-journal.org/issues/2019-4/2019-4_262.html
(accessed: 21.12.2024).