Vortex Flows of a Viscous Incompressible Fluid at Constant Vertical Velocity under Perfect Slip Conditions

V. V. Privalova; E. Yu. Prosviryakov

doi:10.17804/2410-9908.2019.2.057-070

V. V. Privalova, E. Yu. Prosviryakov

VORTEX FLOWS OF A VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID AT CONSTANT VERTICAL VELOCITY UNDER PERFECT SLIP CONDITIONS

DOI: 10.17804/2410-9908.2019.2.057-070

In this paper, we study exact solutions of shear flows for a viscous incompressible fluid. The proposed solutions for the velocity components are linear functions of the longitudinal coordinates. Such solutions belong to the class of Lin-Sidorov-Aristov solutions for isobaric and isothermal processes. The obtained exact solution of the Navier-Stokes equation describes a new mechanism of momentum transfer in a medium and the flow of a vertically whirling fluid. A vertical twist in a fluid arises due to the allowance for inertial forces and a nonuniform distribution of velocities at the free boundary of the fluid layer. This solution allows us to describe the counterflow of incompressible fluid in a thin layer. The condition of perfect slip on the lower solid surface of the fluid layer is considered for the obtained exact general solution. The existence of points at which the velocity field vanishes inside the fluid layer is shown. It determines the existence of stagnant points and counterflows in the fluid.

Keywords: exact solution, vertical vortex, counterflow, stagnation point, perfect slip

References:

Ovsyannikov L.V. Gruppovoy analiz differentsialnykh uravneniy [Group Analysis of Differential Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 400 p. (In Russian).
Andreev V.K., Khapzov O.V., Pukhnachev V.V., Rodionov A.A. Primenenie teoretiko-gruppovykh metodov v gidrodinamike [Application of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1994, 320 p. (In Russian).
Aristov S.N., Knyazev D.V., Polyanin A.D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables. Theor. Found. Chem. Eng., 2009, vol. 43, no. 5, pp. 642‒662. DOI: 10.1134/S0040579509050066.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. Inhomogeneous Couette Flows. Nelin. Dyn., 2014, vol. 10, no. 2, pp. 177‒182. DOI: 10.20537/nd1402004. (In Russian).
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. Stokes waves in vortical ﬂuid. Nelin. Dyn., 2014, vol. 10, no. 3, pp. 309‒318. DOI: 10.20537/nd1403005. (In Russian).
Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. A new class of exact solutions for three-dimensional thermal diffusion equations. Theor. Found. Chem. Eng., 2016, vol. 50, no. 3, pp. 286‒293. DOI: 10.1134/S0040579516030027.
Prosviryakov E.Yu. New Class of Exact Solutions of Navier-Stokes Equations with Exponential Dependence of Velocity on Two Spatial Coordinates. Theor. Found. Chem. Eng., 2019, vol. 53, no. 1, pp. 107‒114. DOI: 10.1134/S0040579518060088.
Lin C.C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics. Arch. Rational Mech. Anal., 1957, vol. 1, pp. 391‒395. DOI: 10.1007/BF00298016.
Sidorov A.F. One class of solutions of equations of gas dynamics and natural convection. In: Numerical and Analytical Methods of Solving Problems of Mechanics of Continuous Media (collected scientific papers), eds. A. F. Sidorov, Yu. N. Kondyurin, UNTs, AN SSSR Publ., Sverdlovsk, 1981, pp. 101–117. (In Russian).
Sidorov A.F. Two classes of solutions of the fluid and gas mechanics equations and their connection to traveling wave theory. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1989, vol. 30, no. 2, pp. 197–203. DOI: 10.1007/BF00852164.
Aristov S.N., Shvarts K.G. Vikhrevye techeniya advektivnoy prirody vo vrashchayushchemsya sloe zhidkosti [Vortex Flows of Advective Nature in Rotating Liquid Layer]. Perm, Perm State Univ. Publ., 2006. (In Russian).
Aristov S.N., Shvarts K.G. Vikhrevye Techeniya v Tonkikh Sloyakh Zhidkosti [Vortical Flows in Thin Fluid Layers]. Kirov, Vyatka State Univ. Publ., 2011, 207 p. (In Russian).
Andreev V.K. Resheniya Birikha uravneniy konvektsii i nekotorye ego obobshcheniya: Preprint no. 1–10 [Birikh Solutions to Convection Equations and Some of its Extensions]. IVM SO RAN Publ., Krasnoyarsk, 2010, 68 p. (In Russian).
Andreev V.K., Bekezhanova V.B. Stability of nonisothermal fluids (Review). J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2013, vol. 54, no. 2, pp. 171–184. DOI: 10.1134/S0021894413020016.
Andreev V.K., Stepanova I.V. Unidirectional flows of binary mixtures within the framework of the Oberbeck–Boussinesq model. Fluid Dyn., 2016, vol. 51, no. 2, pp. 136–147. DOI: 10.1134/S0015462816020022.
Goncharova O.N., Hennenberg M., Rezanova E.V., Kabov O.A. Modening of the convective fluid flows with evaporation in the two-layer system. Interfacial Phenomena and Heat Transfer, 2013, vol. 1, no. 4, pp. 317‒338. DOI: 10.1615/InterfacPhenomHeatTransfer.v1.i4.20.
Aristov S.N., Knyazev D.V., Polyanin A.D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables. Theor. Found. Chem. Eng., 2009, vol. 43, no. 5, pp. 642–662. DOI: 10.1134/S0040579509050066.
Betyaev V.K. Asimptoticheskie metody klassicheskoy dinamiki zhidkosti [Asymptotic Methods of Classical Fluid Dynamics]. Izhevsk, Institut Kompyuternykh Issledovaniy Publ., 2014, 516 p. (In Russian).
Andreev V.K. Influence of the interfacial internal energy on the thermocapillary steady flow. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2017, vol. 10, no. 4, pp. 537‒547. DOI: 10.17516/1997-1397-2017-10-4-537-547.
Andreev V.K., Bekezhanova V.B., Efimova M.V., Ryzhkov I.I., Stepanova I.V. Non-classical convection models: exact solutions and their stability. Computational Technologies, 2009, vol. 14, no. 6, pp. 5‒18.
Bekezhanova V.B., Shefer I.A., Goncharova O.N., Rezanova E.B. Stability of two-layer fluid flows with evaporation at the interface. Fluid Dynamics, 2017, vol. 52, no. 2, pp. 189–200. DOI: 10.1134/S001546281702003X.
Goncharova O.N., Rezanova E.V., Lyulin Y.V., Kabov O.A. Analysis of a convective fluid flow with a concurrent gas flow with allowance for evaporation. High Temperature, 2017, vol. 55, no. 6, pp. 887–897. DOI: 10.1134/S0018151X17060074.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Y. Large-scale flows of viscous incompressible vortical fluid. Russian Aeronautics (Iz. VUZ), 2015, vol. 58, no. 4, pp. 413‒418. DOI: 10.3103/S1068799815040091.
Aristov S.N., Prosviryakov E.Y. Unsteady layered vertical fluid flows. Fluid Dynamics, 2016, vol. 51, no. 2, pp. 148‒154. DOI: 10.1134/S0040579516030027.
Aristov S.N., Privalova V.V., Prosviryakov E.Yu. Stationary nonisothermal Couette flow. Quadratic heating of the upper boundary of the fluid layer. Nonlin. Dyn., 2016, vol. 12, no. 2, pp. 167–178. DOI: 10.20537/nd1602001. (In Russian).
Privalova V.V., Prosviryakov E.Yu. Steady convective Coutte ﬂow for quadratic heating of the lower boundary ﬂuid layer. Nonlin. Dyn., 2018, vol. 14, no. 1, pp. 69–79. DOI: 10.20537/nd1801007. (In Russian).
Privalova V.V., Prosviryakov E.Yu. Couette–Hiemenz exact solutions for the steady creeping convective flow of a viscous incompressible fluid, with allowance made for heat recovery. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2018, vol. 22, no. 3, pp. 532–548. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1638. (In Russian).
Vinogradova O.I., Belyaev A.V. Wetting, roughness and flow boundary conditions. J. Phys.: Condens. Matter, 2011, vol. 23, p. 184104. DOI: 10.1088/0953-8984/23/18/184104.
Stone H., Stroock A., Ajdari A. Engineering flows in small devices: Microfluidics toward a lab-on-a-chip. Annual Review of Fluid Mechanics, 2004, vol. 36, pp. 381–411. DOI: 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122124.
Quere D. Wetting and roughness. Annual Review of Materials Research, 2008, vol. 38, pp. 71–99. DOI: 10.1146/annurev.matsci.38.060407.132434.
Whitesides G.M. The origins and the future of microfluidics. Nature, 2006, vol. 442, pp. 368–373. DOI: 10.1038/nature05058.
Belyaev A.V., Vinogradova O.I. Effective slip in pressure-driven flow past superhydrophobic stripes. J. Fluid Mech., 2010, vol. 652, pp. 489–499. DOI: 10.1017/S0022112010000741.
Landau L.D., Lifshitz E.M. Fluid Mechanics. Pergamon Press, Oxford, 1987.
Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics. Springer-Verlag, New York Inc., 1982.
Vinogradova O.I. Drainage of a thin liquid film confined between hydrophobic surfaces. Langmuir, 1995, vol. 11, iss. 6, pp. 2213–2220. DOI: 10.1021/la00006a059.
Mehdizadeh A., Oberlack M. Analytical and numerical investigations of laminar and turbulent Poiseuille–Ekman flow at different rotation rates. Physics of Fluids, vol. 22, no. 10, pp. 105104 -11. DOI: 10.1063/1.3488039.
Korotaev G.K., Mikhailova E.N., Shapiro N.B. Teoriya ekvatorialnykh protivotecheniy v Mirovom okeane [Theory for the Equatorial Countercurrents in the World's Ocean]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1986. (In Russian).

В. В. Привалова, Е. Ю. Просвиряков

ВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С УЧЁТОМ ПОСТОЯННОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКОРОСТИ И УСЛОВИЯ ИДЕАЛЬНОГО СКОЛЬЖЕНИЯ

В работе исследуются точные решения сдвиговых течений вязкой несжимаемой жидкости. Предложенные решения для компонент скоростей представляют собой линейные функции продольных координат. Такие решения относятся к классу решений Линя-Сидорова-Аристова для изобарических и изотермических процессов. Полученное точное решение уравнения Навье-Стокса описывает новый механизм переноса импульса в среде, течение вертикально завихренной жидкости. Вертикальная закрутка в жидкости возникает из-за учета сил инерции и неоднородного распределения скоростей на свободной границе слоя жидкости. Это решение позволяет описывать противотечения несжимаемой жидкости в тонком слое. Для полученного точного общего решения было рассмотрено условие идеального скольжения на нижней твёрдой поверхности слоя жидкости. Показано существование точек, в которых поле скоростей обращается в нуль внутри слоя жидкости, что определяет существование застойных точек и противотечений в жидкости.

Ключевые слова: точное решение, вертикальное завихрение, противотечение, застойная точка, идеальное скольжение

Библиография:

Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. ‒ М. : Наука, 1978. ‒ 400 c.
Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике / В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов. ‒ Новосибирск : Наука, 1994. ‒ 320 с.
Aristov S. N., Knyazev D. V., Polyanin A. D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables // Theor. Found. Chem. Eng. – 2009. – Vol. 43, no. 5. – P. 642‒662. – DOI: 10.1134/S0040579509050066.
Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Неоднородные течения Куэтта // Нелинейная динамика. ‒ 2014. ‒ Т. 10, № 2. ‒ С. 177‒182. – DOI: 10.20537/nd1402004.
Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Волны Стокса в завихренной жидкости // Нелинейная динамика. ‒ 2014. ‒ Т. 10, № 3. ‒ С. 309‒318. – DOI: 10.20537/nd1403005.
Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. A new class of exact solutions for three-dimensional thermal diffusion equations // Theor. Found. Chem. Eng. – 2016. – Vol. 50, no. 3. – P. 286‒293. – DOI: 10.1134/S0040579516030027.
Prosviryakov E. Yu. New Class of Exact Solutions of Navier-Stokes Equations with Exponential Dependence of Velocity on Two Spatial Coordinates // Theor. Found. Chem. Eng. – 2019. – Vol. 53, no. 1. – P. 107‒114. – DOI: 10.1134/S0040579518060088.
Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Arch. Rational Mech. Anal. – 1957. – Vol. 1. – P. 391‒395. – DOI: 10.1007/BF00298016.
Сидоров А. Ф. Об одном классе решений уравнений газовой динамики и естественной конвекции // Численные и аналитические методы решения задач механики сплошной среды. – Свердловск : УНЦ АН СССР, 1981. ‒ С. 101–117.
Sidorov A. F. Two classes of solutions of the fluid and gas mechanics equations and their connection to traveling wave theory // J. Appl. Mech. Tech. Phys. – 1989. – Vol. 30, no. 2. – P. 197–203. – DOI: 10.1007/BF00852164.
Аристов С. Н., Шварц К. Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. ‒ Пермь, 2006. ‒ 155 с.
Аристов С. Н., Шварц К. Г. Вихревые течения в тонких слоях жидкости. ‒ Киров : ВятГУ, 2011. ‒ 207 с.
Андреев В. К. Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения : препринт № 1–10. ‒ Красноярск : ИВМ СО РАН, 2010. ‒ 68 с.
Andreev V. K., Bekezhanova V. B. Stability of nonisothermal fluids (Review) // J. Appl. Mech. Tech. Phys. – 2013. – Vol. 54, no. 2. – P. 171–184. – DOI: 10.1134/S0021894413020016.
Andreev V. K., Stepanova I. V. Unidirectional flows of binary mixtures within the framework of the Oberbeck–Boussinesq model // Fluid Dyn. – 2016. – Vol. 51, no. 2. – P. 136–147. – DOI: 10.1134/S0015462816020022.
Modening of the convective fluid flows with evaporation in the two-layer system / O. N. Goncharova, M. Hennenberg, E. V. Rezanova, O. A. Kabov // Interfacial Phenomena and Heat Transfer. ‒ 2013. ‒ Vol. 1, no. 4. ‒ P. 317‒338. – DOI: 10.1615/InterfacPhenomHeatTransfer.v1.i4.20.
Aristov S. N., Knyazev D. V., Polyanin A. D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables // Theor. Found. Chem. Eng. – 2009. – Vol. 43, no. 5. – P. 642–662. – DOI: 10.1134/S0040579509050066.
Бетяев С. К. Асимптотические методы классической динамики жидкости. ‒ Москва–Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2014. ‒ 516 с.
Andreev V. K. Influence of the interfacial internal energy on the thermocapillary steady flow // Журнал Сибирского федерального университета. Серия : Математика и физика. ‒ 2017. ‒ Т. 10, № 4. ‒ С. 537‒547. – DOI: 10.17516/1997-1397-2017-10-4-537-547.
Неклассические модели конвекции: точные решения и их устойчивость / В. К. Андреев, В. Б. Бекежанова, М. В. Ефимова, И. И. Рыжков, И. В. Степанова // Вычислительные технологии. ‒ 2009. ‒ Т. 14, № 6. ‒ С. 5‒18.
Устойчивость двухслойных течений жидкости с испарением на границе раздела / В. Б. Бекежанова, О. Н. Гончарова, Е. В. Резанова, И. А. Шефер // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. ‒ 2017. ‒ № 2. ‒ С. 23‒35. – DOI: 10.7868/S0568528117020062.
Изучение конвективных течений жидкости и спутного потока газа с учетом испарения / О. Н. Гончарова, Е. В. Резанова, Ю. В. Люлин, О. А. Кабов // Теплофизика высоких температур. ‒ 2017. ‒ Т. 55, № 6. ‒ С. 720‒732. – DOI: 10.7868/S0040364417060072.
Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Крупномасштабные течения завихренной вязкой несжимаемой жидкости // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. ‒ 2015. ‒ № 4. ‒ С. 50.
Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Нестационарные слоистые течения завихренной жидкости // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. ‒ 2016. ‒ № 2. ‒ С. 25.
Аристов С. Н., Привалова В. В., Просвиряков Е. Ю. Стационарное неизотермическое течение Куэтта. Квадратичный нагрев верхней границы слоя жидкости // Нелинейная динамика. ‒ 2016. ‒ Т. 12, № 2. ‒ С. 167–178. – DOI: 10.20537/nd1602001.
Привалова В. В., Просвиряков Е. Ю. Стационарное конвективное течение Куэтта-Хименца при квадратичном нагреве нижней границы слоя жидкости // Нелинейная динамика. – 2018. – Т. 14, № 1. – С. 69–79. – DOI: 10.20537/nd1801007.
Привалова В. В., Просвиряков Е. Ю. Точные решения Куэтта–Хименца для описания установившегося ползущего конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости с учетом теплообмена // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. ‒ 2018. ‒ Т. 22, № 3. ‒ С. 532–548. – DOI: 10.14498/vsgtu1638.
Vinogradova O. I., Belyaev A. V. Wetting, roughness and flow boundary conditions // J. Phys.: Condens. Matter. ‒ 2011. ‒ Vol. 23. ‒ P. 184104. – DOI: 10.1088/0953-8984/23/18/184104.
Stone H., Stroock A., Ajdari A. Engineering flows in small devices: Microfluidics toward a lab-on-a-chip // Annual Review of Fluid Mechanics. – 2004. – Vol. 36. – P. 381–411. – DOI: 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122124.
Quere D. Wetting and roughness // Annu. Rev. Mater. Res. ‒ 2008. ‒ Vol. 38. ‒ P. 71–99.
Whitesides G. M. The origins and the future of microfluidics // Nature. ‒ 2006. ‒ Vol. 442. ‒ P. 368–373. – DOI: 10.1038/nature05058.
Belyaev A. V., Vinogradova O. I. Effective slip in pressure-driven flow past superhydrophobic stripes // J. Fluid Mech. ‒ 2010. ‒ Vol. 652. ‒ P. 489–499. – DOI: 10.1017/S0022112010000741.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. – 6-е. изд. ‒ Москва : Физматлит, 2006. ‒ 736 с.
Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика : в 2 т. ‒ М. : Мир, 1984.
Vinogradova O. I. Drainage of a thin liquid film confined between hydrophobic surfaces // Langmuir. – 1995. – Vol. 11, iss. 6. – P. 2213–2220. – DOI: 10.1021/la00006a059.
Mehdizadeh A., Oberlack M. Analytical and numerical investigations of laminar and turbulent Poiseuille–Ekman flow at different rotation rates // Physics of Fluids. ‒ Vol. 22, no. 10. ‒ P. 105104. – DOI: 10.1063/1.3488039.
Коротаев Г. К., Михайлова Э. Н., Шапиро Н. Б. Теория экваториальных противотечений в Мировом океане. ‒ Киев : Наук. думка, 1986. ‒ 208 с.

Библиографическая ссылка на статью

Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu. Vortex Flows of a Viscous Incompressible Fluid at Constant Vertical Velocity under Perfect Slip Conditions // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2019. - Iss. 2. - P. 57-70. -
DOI: 10.17804/2410-9908.2019.2.057-070. -
URL: http://dream-journal.org/issues/2019-2/2019-2_249.html
(accessed: 21.12.2024).