A. L. Kazakov , L. F. Spevak, O. A. Nefedova
SIMULTENIOUS APPLICATION OF THE BOUNDARY ELEMENT METHOD AND THE POWER SERIES METHOD FOR SOLVING A TWO-DIMENSIONAL PROBLEM OF HEAT WAVE MOTION
DOI: 10.17804/2410-9908.2017.6.006-015 The paper develops numerical solution methods for heat conduction boundary value problems for the case of the power dependence of the heat conductivity factor on temperature. Besides heat distribution in space, it describes filtration of a polytropic gas in a porous medium. A distinctive feature of this equation is the degeneration of its parabolic type when the required function becomes zero, whereupon the equation acquires some properties typical of first-order equations. Particularly, in some cases, it proves possible to substantiate theorems of the existence and uniqueness of heat-wave type solutions for it. A numerical method using the advantages of the power series method and the boundary element method is proposed for the solution of the boundary value problem with a specified heat wave front. Simultaneous application of the two methods allows the accuracy of the numerical solution to be increased. A program has been developed from the proposed method. Test examples are considered.
Acknowledgement: K.Program of UB RAS, project № 15-7-1-17
grant of the RFBR, project № 16-01-00608 Keywords: nonlinear heat conduction equation, power series, boundary element method, computational experiment References:
- Vazquez J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Clarendon Press, Oxford, 2007, 648 р. ISBN-10: 0198569033, ISBN-13: 978-0198569039.
- Samarsky A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P. Mikhailov A.P. Rezhimy s obostreniem v zadachakh dlya nelineinykh parabolicheskikh uravneniy [Regimes with Peaking in Prob-lems for Quasilinear Parabolic Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 476 p. (In Russian).
- Sidorov A.F. In: Izbrannye Trudy: Matematika. Mekhanika [Selected Works: Mathematics. Mechanics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001, 576 p. (In Russian). ISBN 5-9221-0103-Х.
- Kazakov A.L., Spevak L.F. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equation with boundary conditions of a special form. Applied Mathematical Modelling, 2013, vol. 37, iss. 10–11, pp. 6918–6928. DOI: 10.1016/j.apm.2013.02.026
- Kazakov A.L., Spevak L.F. An analytical and numerical study of a nonlinear parabolic equation with degeneration for the cases of circular and spherical symmetry. Applied Mathematical Modelling, 2015, vol. 40, iss. 2, pp. 1333–1343. DOI: 10.1016/j.apm.2015.06.038
- Spevak L.F., Nefedova O.A. Solving a two-dimensional nonlinear heat conduction equation with degeneration by the boundary element method with the application of the dual reci-procity method. In: AIP Conference Proceedings, 2016, vol. 1785, iss. 1, pp. 040077. Available at: http://doi.org/10.1063/1.4967134
- Kazakov A.L., Spevak L.F., Nefedova O.A. Solution of a Two-Dimensional Problem on the Motion of a Heat Wave Front with the Use of Power Series and the Boundary Element Method. Izvestiya IGU. Seriya Matematika. Mekhanika, 2016, Vol. 18, pp. 21–37 (In Russian).
- Brebbia C.A., Telles J.F.C., Wrobel L.C. Boundary Element Techniques. Springer-Verlag, Berlin, Neidelberg, New-York, Tokyo, 1984, 466 р. ISBN: 978-3-642-48862-7 (Print), 978-3-642-48860-3 (Online). DOI: 10.1007/978-3-642-48860-3
- Fedotov V.P., Spevak L.F. One approach to the derivation of exact integration formulae in the boundary element method. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2008, vol. 32, no. 10, pp. 883–888. DOI: 10.1016/j.enganabound.2008.03.001
- Nardini D., Brebbia C.A. A New Approach to Free Vibration Analysis using Boundary El-ements. Applied Mathematical Modelling, 1983, vol. 7, no. 3, pp. 157–162. DOI: 10.1016/0307-904X(83)90003-3
А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак, О. А. Нефедова
СОВМЕСТНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ И МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ФРОНТА ТЕПЛОВОЙ ВОЛНЫ
Работа посвящена разработке численных методов решения краевых задач для нелинейного уравнения теплопроводности в случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. Помимо распространения тепла в пространстве, это уравнение описывает также фильтрацию политропного газа в пористой среде. Особенностью рассматриваемого уравнения является вырождение его параболического типа в случае нулевого значения искомой функции, вследствие чего уравнение приобретает некоторые свойства, обычно характерных для уравнений первого порядка. В частности, для него в некоторых случаях удается обосновать теоремы существования и единственности решений типа тепловой волны. Для краевой задачи с заданным фронтом тепловой волны предложен метод решения, использующий преимущества ранее применявшихся метода степенных рядов и метода граничных элементов. Совместное применение двух методов позволило повысить точность численного решения. Предложенный метод реализован в виде программы для ЭВМ. Рассмотрены тестовые примеры.
Благодарность: Комплексная программа УрО РАН, проект № 15-7-1-17
РФФИ, проект № 16-01-00608 Ключевые слова: нелинейное уравнение теплопроводности, степенной ряд, метод граничных элементов, вычислительный эксперимент Библиография:
1. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. – Oxford : Clarendon Press, 2007. – 648 р. – ISBN-10: 0198569033, ISBN-13: 978-019856903.
2. Режимы с обострением в задачах для нелинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. – М. : Наука, 1987. – 476 с.
3. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика. – М. : Физматлит, 2001. – 576 c. – ISBN 5-9221-0103-Х.
4. Kazakov A. L., Spevak L. F. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equation with boundary conditions of a special form. // Applied Mathematical Modelling. – 2013. – Vol. 37, iss. 10–11. – P. 6918–6928. – DOI: 10.1016/j.apm.2013.02.026
5. Kazakov A. L., Spevak L. F. An analytical and numerical study of a nonlinear parabolic equation with degeneration for the cases of circular and spherical symmetry // Applied Mathematical Modelling. – 2015. – Vol. 40, iss. 2. – P. 1333–1343. – DOI: 10.1016/j.apm.2015.06.038
6. Spevak L. F., Nefedova O. A. Solving a two-dimensional nonlinear heat conduction equa-tion with degeneration by the boundary element method with the application of the dual rec-iprocity method // AIP Conference Proceedings. – 2016. – Vol. 1785, iss. 1. – P. 040077. – URL: http://doi.org/10.1063/1.4967134
7. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф., Нефедова О. А. Решение двумерной задачи о движении фронта тепловой волны с использование степенных рядов и метода граничных эле-ментов // Известия ИГУ. Серия «Математика». – 2016. – Т. 18. – С. 21–37.
8. Brebbia C. A., Telles J. F. C., Wrobel L. C. Boundary Element Techniques. – Berlin, Nei-delberg, New-York, Tokyo : Springer-Verlag, 1984. – 466 р. – ISBN 978-3-642-48862-7. – DOI: 10.1007/978-3-642-48860-3
9. Fedotov V. P., Spevak L. F. One approach to the derivation of exact integration formulae in the boundary element method // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2008. – Vol. 32, no. 10. – P. 883–888. – DOI: 10.1016/j.enganabound.2008.03.001
10. Nardini D., Brebbia C. A. A New Approach to Free Vibration Analysis using Boundary El-ements // Applied Mathematical Modelling. – 1983. – Vol. 7, no. 3. – P. 157–162. – DOI: 10.1016/0307-904X(83)90003-3
 
Библиографическая ссылка на статью
Kazakov A. L., Spevak L. F., Nefedova O. A. Simultenious Application of the Boundary Element Method and the Power Series Method for Solving a Two-Dimensional Problem of Heat Wave Motion // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. -
2017. - Iss. 6. - P. 6-15. - DOI: 10.17804/2410-9908.2017.6.006-015. -
URL: http://dream-journal.org/issues/2017-6/2017-6_151.html (accessed: 21.12.2024).
|
